Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da série abaixo:

∑ n = 2 ∞ 1 n l o g e n 2  

Passo 1

Temos que o logaritmo de base e nada mais é que:

l o g e n 2   = l n   n 2  

Então vamos escrever dessa forma para ficar mais bonito. Show, então temos a série:

∑ n = 2 ∞ 1 n   l n   n 2    

Temos que n   l n   n 2   > 0 para todo n . Então o termo dessa série é sempre positivo. Logo, pode ser uma boa usar o teste da integral.

Dessa forma, associamos: 1 n   l n   n 2   → f x = 1 x   l n   x 2  

Com a função bem bonita definida em [ 2 , ∞ ) → R , porque n começa em 2 .

Legal, então temos:

f x = 1 x   l n   x 2  

f : [ 2 , ∞ ) → R

E vamos calcular essa integral:

∫ 2 ∞ 1 x   l n   x 2   d x

Pois se convergir, a série também converge. O ponto aqui é ver que aparece o l n   x   e sua derivada 1 / x na integral, então podemos usar substituição simples com:

u = l n   x  

d u = 1 x d x

u 2 = l n   2  

u ∞ → l n   ∞   → ∞

Logo, teremos: ∫ 2 ∞ 1 x   l n   x 2   d x = ∫ l n   2   ∞ d u u 2 = - 1 u | l n   2   ∞ = 1 ln ⁡ ( 2 )  

Logo, a série converge. Além disso, o módulo da função é a própria série, portanto é absolutamente convergente.

Resposta

∑ n = 2 ∞ 1 n   l o g e n 2  

Converge.

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