Exercícios Resolvidos de Teste da integral

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2018.2, Questão 1b

Questão 1:

Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo.

b )     m = 1 m 2 e - m 3

Passo 1

Bem, como a derivada de - m 3 é - 3 m 2 , quero que você note que esse termo da série:

m 2 e - m 3

É integrável! Então, isso só pode significar uma coisa:

Teste da Integral

Para esse teste, basicamente a gente vai tentar calcular:

1 x 2 e - x 3   d x

Se essa integral convergir, então a série converge, caso divirja a séria também divergirá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, não podemos aplicar esse teste do nada não! Temos que antes verificar se o termo da série (ou da integral) é decrescente. Se for, tudo bem, podemos aplicar o teste numa boa, entendeu?

f x = x 2 e - x 3

Pois bem, perceba então que queremos ver se essa função decrescente no intervalo estudado (de 1 ao ). Poxa, lá em cálculo de uma variável, vimos que uma forma de ver se uma função decrescente é analisar sua derivada:

f x = x 2 e - x 3                         f ' x = 2 x e - x 3 - x 2 e - x 3 3 x 2            

f ' x = 2 x e - x 3 - 3 x 4 e - x 3 =

x e - x 3 2 - 3 x 3  

Perceba que x e - x 3 sempre é positivo no intervalo de 1 ao infinito, entretanto, o mesmo não pode dizer desse termo aqui 2 - 3 x 3 . Esse termo é negativo a partir deum determinado valor. Para saber que valor é esse, basta estudarmos a expressão...

2 - 3 x 3 < 0                       - 3 x 3 < - 2                      

3 x 3 > 2                                 x 3 > 2 3                  

x > 2 / 3 3

Portanto, como 2 / 3 3 < 1 toda a deriva é menor que 0 no intervalo:

f ' x < 0         n o       i n t e r v a l o :   [ 1 , [

Logo, a função f x é decrescente nesse intervalo, sacou?

Passo 3

Beleza, com isso a função decrescente, podemos de fato aplicar o teste da integral para resolver a questão.

1 x 2 e - x 3   d x

Então a calculemos fazendo uma mudança:

- x 3 = t            

d t = - 3 x 2 d x           o u           x 2 d x = - d t 3

Trocando também os limites:

x = 1                             t = - 1 3 = - 1

x                               t -                                  

Logo:

1 x 2 e - x 3   d x = - 1 - e t   - d t 3 =

1 3 - - 1 e t d t = 1 3   e t   - - 1 =

Substituindo os limites:

1 3 e - 1 - lim b - e b

Como a exponencial em um infinito negativo é 0 , então:

1 x 2 e - x 3   d x = 1 3 e - 1

Se essa integral convergiu, então a série:

m = 1 m 2 e - m 3

É convergente!

Passo 4

Ainda não acabou, Jovem gafanhoto: será que a série é absolutamente convergente? Isso será verdade se:

m = 1 m 2 e - m 3

Convergir. Vejamos:

Quem é m 2 e - m 3 ? m 2 é um termo positivo, e a exponencial nunca é negativo, então...

m 2 e - m 3 = m 2 e - m 3    

m = 1 m 2 e - m 3 = m = 1 m 2 e - m 3

Como essa série converge, então ela converge absolutamente!

Resposta

Absolutamente convergente

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