Exercícios Resolvidos de Teste da integral

UFRJ, Cálculo 4, PF - 2018.2, Questão 1c

Questão 1: Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo.

c )     m = 1 - 1 m m + 1 log c m + 1 2

Passo 1

Tenho um grande pressentimento que essa série converge absolutamente, afinal...

m = 1 - 1 m m + 1 log c m + 1 2 =

Como m + 1 é positivo e o log ao quadrado também...

m = 1 1 m + 1 log c m + 1 2

Bem, o Log ali ta chamando muito o teste integral! Vamos nessa?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Antes de aplicar o teste em si, devemos verificar se esse termo é decrescente e é positiva ou não.

1 m + 1 log c m + 1 2

Veja que o termo é positivo, e se aplicarmos o limite com m veremos que esse termo vai a 0 . Beleza, então para esse teste basicamente a gente vai tentar calcular:

1 1 x + 1 log c x + 1 2   d x

Se essa integral convergir, então a série converge, caso divirja a séria também divergirá!

Se fizermos uma mudança do tipo...

log c x + 1 = y

Considerando a mudança de base...

log c x + 1 = ln x + 1 ln c = y

Calculando o d y ...

d y = 1 ln c 1 x + 1 d x        

1 x + 1 d x = ln c d y

Mudando também os limites de integração...

x = 1           y = log c 2

x             y

1 1 x + 1 log c x + 1 2   d x = log c 2 1 y 2 ln c   d y =

ln c - 1 y log c 2 = ln c - 1 - - 1 log c 2 =

ln c log c 2

Como a integral converge então à série...

m = 1 - 1 m m + 1 log c m + 1 2

Converge absolutamente!

Resposta

Converge absolutamente!

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