Exercícios Resolvidos de Tubos Sonoros

A figura abaixo mostra a leitura de um monitor de pressão montado em um ponto da trajetória de uma onda sonora de uma só frequência, propagando-se com uma velocidade de 340   m / s no ar, de massa específica homogênea 1,21   k g / m 3 . A escala do eixo vertical do gráfico representado na figura abaixo é definida por Δ p s = 3,0 × 10 - 3 P a . Se, nas vizinhanças do monitor de pressão, a função deslocamento da onda é dada por s ( x , t ) = s m c o s ( k x - ω t ) .

a) Determine a amplitude de pressão, Δ p m a x , o período e o número de onda.

b) Obtenha s m e escreva a função que descreve o deslocamento s ( x , t ) .

c) Coloca-se um tubo com apenas uma extremidade aberta no caminho da onda sonora. Calcule qual deve ser o menor comprimento do tubo para que a onda estacionária formada em seu interior entre em ressonância.

d) Faça o desenho da onda estacionária de pressão no tubo, na situação do item c, indicando as extremidades aberta e a fechada.

e) Suponha, agora, que o monitor de pressão se encontre a uma distância D da fonte sonora isotrópica (emite igualmente em todas as direções). Observa-se que a amplitude da onda de pressão é duplicada ao aproximarmos o monitor de 40,0   m em direção à fonte. De quanto aumenta a intensidade da onda sonora? Calcule a distância D .

Passo 1

Sabemos que Δ p m a x é a amplitude da nossa onda. Pela figura, vemos que

Δ p m a x = 2 Δ p s

Como pelo enunciado Δ p s = 3 × 10 - 3 P a

Δ p m a x = 6 × 10 - 3 P a

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Passo 2

Pela figura vemos que o primeiro máximo (a esquerda) acontece em t = - 0,5   m s e que o segundo máximo (a direita) acontece em t = 1,5   m s . Como o período é a diferença de tempo entre dois máximos, temos

T = 2   m s

Passo 3

Temos que o número de onda é dado por

k = 2 π λ

E para achar o comprimento de onda podemos usar a relação

v = λ T → λ = v T

Como temos o período T = 2 m s = 2 × 10 - 3 s e a velocidade do som é dada pelo enunciado v = 340 m / s .

λ = 2 × 10 - 3 × 340

λ = 0,68 m

Agora podemos calcular o número de onda

k = 2 π λ = 2 π 0,68

k = 2,94 π   r a d m = 9,23   m - 1

Passo 4

Temos que a função deslocamento da nossa onda é dada por

s ( x , t ) = s m c o s ( k x - ω t ) .

O número de onda já calculamos no passo anterior k = 2,94 π   r a d / m .

Já a frequência angular podemos achar usando o período

ω = 2 π T = 2 π 2 × 10 - 3

ω = π 10 3   r a d / s

Passo 5

Agora falta achar a amplitude s m .

Para uma onda sonora, a variação de pressão se relaciona com a função deslocamento por

Δ p = - B ∂ s ∂ x

Onde B é o modo de compressibilidade do ar (já já vamos lidar com ele).

Como s ( x , t ) = s m c o s ( k x - ω t ) .

Δ p = - B ∂ s ∂ x = B s m s e n k x - ω t k

Quando Δ p = Δ p m a x , temos que s e n … = 1 , assim

Δ p m a x = B s m k → s m = Δ p m a x B k

Para calcular s m , já temos o número de onda k e a variação máxima de pressão Δ p m a x . Agora só falta B

O módulo de compressibilidade se relaciona com a densidade do ar e com a velocidade de propagação da onda nesse meio por

v = B ρ → B = v 2 ρ  

Como, pelo enunciado, ρ = 1,21   K g / m 3 e v = 340 m / s

B = v 2 ρ = 340 2 × 1,21

B = 139876   P a

Então finalmente podemos calcular a nossa amplitude s m !

s m = Δ p m a x B k = 6 × 10 - 3 139876 × 9,23

s m = 4,64 × 10 - 9 m  

E a nossa função deslocamento será

s x . t = 4,64 × 10 - 9 cos ⁡ 2,94 π x - 10 3 π t

Tudo em unidades do SI.

Passo 6

Temos que em um tubo com apenas uma extremidade aberta, haverá um nó na extremidade fechada e um anti-nó na extremidade aberta, de forma que no primeiro harmônico caberá somente um quarto de comprimento de onda dento do tubo

L = λ 4 = 0,68 4

L = 0,17   m

Passo 7

O nosso desenho fica mais ou menos assim mostrando o nó na extremidade aberta e o anti-nó na extremidade fechada

Passo 8

Vamos calcular analiticamente a intensidade sonora quando estamos perto e longe e compará-las.

A intensidade sonora é dada pela razão entre a potência média da onda sonora dividida pela área que ela atua

I = P m e d i a A

Quando estamos a uma distância D da fonte, medimos uma intensidade I ( D ) e a área em que a onda passa é a área de uma esfera de raio D

I ( D ) = P m e d i a 4 π D 2

Agora quando estamos a uma distância D - 40 da fonte (quando nos aproximamos), medimos uma intensidade I ( D - 40 ) que será dada por

I D - 40 = P m e d i a 4 π D - 40 2

Podemos eliminar a potência média fazendo a razão entre as duas intensidades

I D I D - 40 = P m e d i a 4 π D 2 P m e d i a 4 π D - 40 2 = D - 40 2 D 2

Passo 9

Beleza, já temos uma expressão interessante que tem a distância D . Agora só falta calcular essa razão entre as intensidades.

Para isso basta lembrar que a intensidade de uma onda sonora se relaciona com a sua amplitude por

I = 1 2 ρ v ω 2 s m 2

E nessa relação quando nos aproximamos somente a amplitude da onda se modificará! Ou seja, a razão entre as duas intensidades será a razão entre os quadrados das amplitudes das ondas

I D I D - 40 = s m 2 s m ' 2

Como s m = Δ p m a x / B k

I D I D - 40 = Δ p m a x 2 Δ p ' m a x 2

Finalmente pelo enunciado sabemos que quando nos aproximamos a amplitude da pressão duplica, ou seja

Δ p ' m a x = 2 Δ p m a x

Assim

I D I D - 40 = Δ p m a x 2 Δ p ' m a x 2 = Δ p m a x 2 2 Δ p m a x 2 = 1 4

Daqui vemos que a intensidade aumentou 4 vezes.

Então finalmente (ufa!) podemos calcular D

D - 40 2 D 2 = 1 4 → D - 40 D = 1 2 → 2 D - 80 = D

D = 80   m

Resposta

  1. Δ p m a x = 6 × 10 - 3 P a , T = 2   m s , k = 2,94 π   r a d / m = 9,23   m - 1
  2. s m = 4,64 × 10 - 9 m   , s x . t = 4,64 × 10 - 9 cos ⁡ 2,94 π x - 10 3 π t
  3. L = 0,17   m
  4. Intensidade quadriplicou. D = 80 m

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