Exercícios Resolvidos de Tubos Sonoros

Um tubo cilíndrico e de seção reta uniforme, tem suas extremidades abertas e em contato com o ar. Uma onda sonora no seu interior apresenta modos normais de vibração de frequências f n , onde n = 1 ,   2 ,   3 … . Ao fecharmos uma de suas extremidades com uma parede fixa, seus modos normais passam a ter frequências f n ' , onde n = 1 ,   2 ,   3 … . Qual a razão entre as frequências do n-ésimo modo normal de vibração nas duas situações, r n = f n ' / f n ? Quando esta razão se aproxima de 1?

(a) r n = 1 1 - 1 2 n . Para frequências suficientemente baixas.

(b) r n = 1 - 1 2 n . Para frequências suficientemente altas.

(c) r n = 1 1 - 1 n . Para frequências suficientemente baixas.

(d) r n = 1 - 1 n . Para frequências suficientemente altas.

(e) r n =   1 2 . Para nenhuma frequência.

Passo 1

Para o tubo com as duas extremidades abertas, os harmônicos são dados por:

f n = n v 2 L ,   n = 1 ,   2 ,   3 …

Para o tubo com uma extremidade fechada, os harmônicos são dados por:

f n ' = 2 n - 1 v 4 L ,   n = 1 ,   2 ,   3 …

Desta forma:

r n = f n ' f n   ↔ r n = 2 n - 1 v 4 L n v 2 L   ↔ r n = 2 n - 1 2 n   ↔ r n = 1 - 1 2 n

O valor se aproxima de 1 para frequências muito altas já que, conforme o harmônico aumenta ( n se eleva), o termo 1 2 n é reduzido e se aproxima de 0 .

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Resposta

(b)

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