Exercícios Resolvidos de Tubos Sonoros

Interferência

Um tubo cilíndrico, com uma extremidade aberta e outra fechada, tem um diâmetro D = 10,0 c m e largura L = 45,0 c m . Ele tem ar no seu interior. Suponha que a extremidade fechada do tubo esteja na posição x = 0 . Considere a velocidade do som igual a 342   m / s .

  1. Calcule a frequência natural de ressonância do tubo.
  2. Para a frequência natural do tubo, considere que, na extremidade aberta do tubo, o deslocamento dos elementos de ar é máximo em t = 0 e vale 2,00 x 10 - 6 m . Escreva a função para esse deslocamento s ( x , t ) no interior do tubo ( 0 < x < L ) . Faça o gráfico dessa função em t = 0 .

Passo 1

a):

Fala ai galera! Bom, nessas questões de tubos, você precisa primeiro identificar qual o tipo do tubo, ou seja, se ele é aberto ou fechado.

Como esse tubo tem um lado fechado, ele é um tubo do tipo fechado. Beleza, então a fórmula que vamos usar pra frequências é:

f n = 2 n - 1 4 v l

Show! Então, como a gente sabe l ( a “largura”) e v ( a velocidade do som), vamos aplicar o valor de n = 1 e esses valores na fórmula:

f 1 = v 4 l = 343 4 . 0,45 ≅ 190   H z

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Passo 2

b):

Quando ele pede s x , t , ele tá pedindo a fórmula da onda estacionária que se instalou no tubo, ou seja: y x , t .

Show?

Então vamos lá, a onda estacionária tem a forma:

y x , t = A c o s k x + ∅ cos ⁡ ω t + φ

Como em x = 0 existe um nó, a fase tem que ser igual a π 2 . Pois:

y 0 , t = cos ⁡ k . 0 + π 2 = cos ⁡ π 2 = 0

Da mesma forma, quando t = 0 , a função tem um máximo. Então a fase φ tem que ser igual a 0 pois;

cos ⁡ 0 + 0 = cos ⁡ 0 = 1

E ai a função tem um máximo.

Passo 3

Ah, a outra informação importante que o enunciado nos dá é que o máximo de deslocamento vale 2,00 x 10 - 6 .

O que é o máximo de deslocamento? A amplitude!

Então:

A = 2,00 x 10 - 6 m

Juntando as informações que temos:

s x , t = 2,00 x 10 - 6 cos ⁡ k x + π 2 cos ⁡ ω t

Como estamos fazendo pra frequência fundamental, vamos calcular o valor de k e ω nesse caso:

O comprimento de onda, λ , muda com o valor de n de acordo com a fórmula abaixo:

λ 4 . 2 n - 1 = L

Então para n = 1 :

λ = 4 L = 4.0,45 = 1,8

E o valor de k é calculado por:

k = 2 π λ = 2 π 1,8

E o valor de ω a gente vai achar usando a relação:

k v = ω

ω = 2 π 1,8 . 340 = 380 π

Então a fórmula fica:

s x , t = 2,00 x 10 - 6 cos ⁡ 2 π 1,8 x + π 2 cos ⁡ 380 π t

Agora a gente vai ter que desenhar essa bagaça pra t = 0 . Vai ser o gráfico da função:

s x , 0 = 2,00 x 10 - 6 cos ⁡ 2 π 1,8 x + π 2

Olha só, mas lembrando da relação trigonométrica básica:

cos ⁡ φ + π 2 = s e n φ

Podemos reescrever a função como:

s x , 0 = 2,00 x 10 - 6 sen ⁡ 2 π 1,8 x

Então o gráfico é o gráfico de uma função seno, com valor de zero em x = 0 e o valor de 2,00 x 10 - 6   quando x = 0,45 .

Vamos desenhar esse gráfico no próprio tubo, pra ficar mais claro:

Resposta

a):

f 1 ≅ 190   H z

b):

s x , t = 2,00 x 10 - 6 cos ⁡ 2 π 1,8 x + π 2 cos ⁡ 380 π t

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