Exercícios Resolvidos de Tubos Sonoros

Halliday, David, Fundamentos de física, volume 2 : ondas, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, Cap 17, Problema 41

No tubo A , a razão entre a frequência de um certo harmônico e a frequência do harmônico precedente é 1,2. No tubo B , a razão entre a frequência de um certo harmônico e a frequência do harmônico precedente é 1,4 . Quantas extremidades abertas existem (a) no tubo A e (b) no tubo B ?

Passo 1

Conhecemos as fórmulas dos tubos abertos e fechados:

  • Aberto:
  • f n = 2 n 4 v l

    n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

  • Fechado:

f n = 2 n - 1 4 v l

n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Como queremos a frequência de harmônicos sucessivos temos, primeiro para tubos abertos (duas extremidades abertas):

f n + 1 f n = 2 ( n + 1 ) 2 n → f n + 1 f n = 1 + 2 2 n = 1 + 1 n

Já para tubos fechados (uma extremidade aberta):

f n + 1 f n = 2 n + 1 - 1 2 n - 1 → f n + 1 f n = 1 + 2 2 n - 1 = 1 + 1 n - 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a)

Agora vamos analisar o 1º caso. No tubo A , a razão entre as frequências sucessivas deu 1,2 . Em qual das expressões que encontramos acima nós podemos variar n , que é um inteiro, de forma que a razão dê 1,2 ? Vamos ver:

Se o tubo A for aberto:

1,2 = 1 + 1 n → 1 n = 0,2 → n = 10 2 = 5

Mas se o tubo for fechado, teremos:

1,2 = 1 + 1 n - 1 2

1 n - 1 2 = 1 5

n = 11 2 = 5,5

Como n tem que ser um inteiro, o tubo tem que ser aberto!

Passo 3

b) Já no tubo B , temos que a razão entre as frequências é de 1,4 . Vamos testar primeiramente para o tubo aberto em uma única extremidade:

1,4 = 1 + 1 n - 1 2 → n - 1 2 = 10 4 → n = 5 2 + 1 2 → n = 3

Pronto! n deu inteiro. Concluímos então que o tubo B possui apenas uma extremidade aberta.

Resposta

  1. Duas extremidades abertas
  2. Uma extremidade aberta

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