Exercícios Resolvidos de Velocidade e Potência de uma Onda na Corda

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Enunciado

Considere uma corda de comprimento L = 1   m e densidade μ = 1,0 × 10 - 4   k g / m , presa nas duas extremidades.

  1. Qual é, em newtons, o valor da tensão que deve ser aplicada na corda para que seu primeiro harmônico ocorra em 400   H z ?
  2. Suponha que uma extremidade da corda está em x   =   0 e a outra em x   =   L . A onda do item (a) pode ser descrita como y x , t = y m s e n k x + ω t + y m s e n k x - ω t . Para y m = 1 π c m , determine em m / s a velocidade máxima de um ponto no meio da corda.

Dado: s e n α + s e n β = 2 cos ⁡ α - β 2 s e n α + β 2

Passo 1

Galera, a primeira coisa a se fazer e definirmos a expressão para tensão para então posteriormente analisarmos os termos que precisamos descobrir.

Sabemos que a tensão pode ser descrita como:

τ = μ v 2

E que a velocidade da onda é v = λ f , logo:

τ = μ λ f 2 = μ 2 L 2 f 2 = 10 - 4 × 4 × 16 × 10 4

τ = 64   N    

Passo 2

A onda na corda pode ser descrita pela seguinte expressão:

y x , t = y m s e n k x + ω t + y m s e n k x - ω t

Porém utilizando o dado informado, temos que:

y ( x , t ) = 2 y m cos ⁡ ω t s e n k x

Agora que já temos a expressão do deslocamento da onda em função do tempo, podemos calcular a sua velocidade pela derivada da posição, onde v x , t = d y x , t d t = 0 .

v x , t = - 2 y m ω s e n ω t s e n k x = 0

O enunciado nos diz que o comprimento da corda é igual a L , logo no meio da corda temos x = L 2 ,   s e n 2 π L 2 L 2 = s e n π 2 = 1 . Portanto, a velocidade máxima será:

v m x = L 2 = 2 y m ω = 2 y m 2 π f = 2 × 1 π × 2 × π × 400

v m x = L 2 = 1600 c m s = 16   m / s

Resposta

a) 64 N

b) 16 m/s

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