Exercícios Resolvidos de Velocidade e Potência de uma Onda na Corda

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Enunciado

2 . Uma corda tem massa m = 100   g e comprimento L = 50   c m . Ela vibra num modo normal descrito pela função de onda

y x , t = 5   c m sen ⁡ 5 π   m - 1 x cos ⁡ 600 π 4 s - 1 t

com x em metros e t em segundos. Determine:

( a ) O comprimento de onda λ desta onda.

( b ) Diga se os extremos x = 0 e x = 50   c m estão fixos ou livres para oscilar.

( c ) A frequência de vibração de cada ponto da corda.

( d ) A tensão T a qual a corda está submetida.

( e ) A velocidade transversal máxima de um ponto da corda localizado num ventre.

Se necessário, a resposta pode ficar em função de π .

Passo 1

Esse problema pede bastante coisa então vamos entender e fazer o que cada item quer em cada passo.

Antes de começarmos, temos que a equação mais geral de uma onda em uma corda é dada por:

y x , t = A sen ⁡ ( k x ) cos ⁡ ω t + ϕ

Comparando com a fornecida pelo enunciado, temos que:

k = 5 π   m - 1

ω = 600 π 4 s - 1

ϕ = 0

Vamos para cima então.

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Ele quer o comprimento de onda da onda na corda. Para isso vamos usar o fato de que:

k = 2 π λ

⇒ λ = 2 π k

Substituindo o valor de k , temos:

λ = 2 π 5 π  

⇒ λ = 0,4   m

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Ele quer saber se os pontos x = 0 e x = 0,5   m estão fixos ou livre para oscilar. Ele vai estar preso se y x , t = 0 e livre se y x , t ≠ 0 .

Vamos ver primeiro x = 0 , temos:

y 0 , t = 5   c m sen ⁡ 5 π   m - 1 0 cos ⁡ 600 π 4 s - 1 t

= 5   c m sen ⁡ 0 cos ⁡ 600 π 4 s - 1 t

Como sen ⁡ 0 = 0 , temos:

y 0 , t = 0

Logo o ponto está fixo.

Agora para x = 0,5   m , temos:

y 0,5 , t = 5   c m sen ⁡ 5 π   m - 1 0,5 cos ⁡ 600 π 4 s - 1 t

= 5   c m sen ⁡ 1 10 π m - 1 cos ⁡ 600 π 4 s - 1 t

Logo y 0,5 , t ≠ 0 então temos um ponto livre para oscilar.

Passo 4

Agora o item ( c ) .

Ele quer a frequência de vibração de cada ponto da corda. Usando o fato de que a frequência é dada por:

f = ω 2 π

Então substituindo o valor de ω , temos:

f = 600 π / 4 2 π

= 600 8

Então temos que:

f = 75   H z

Passo 5

Agora vamos para cima do item ( d ) .

Ele quer a tensão T que a corda é submetida. Para achar essa tensão vamos usar a seguinte equação:

v = T μ

⇒ T = μ v 2

Temos que μ é a densidade linear da corda, dada por:

μ = m L

E que a velocidade é dada por:

v = λ f

Então temos que:

T = λ 2 f 2 m L

Substituindo o que sabemos, temos:

T = 0,4 2 75 2 ( 0,1 ) 0,5

⇒ T = 90 0,5

Então temos que:

T = 180   N

Passo 6

Agora finalmente chegamos no último item, o item ( e ) .

Ele pede a velocidade transversal máxima. A equação da velocidade, é dada por:

v x , t = ∂ y x , t ∂ t

Então temos que:

v x , t = - 600 π 4 s - 1 5   c m sen ⁡ 5 π   m - 1 x sen ⁡ 600 π 4 s - 1 t

A velocidade máxima ocorre quando as duas funções senos são máximas, logo:

sen ⁡ 5 π   m - 1 x = 1

sen ⁡ 600 π 4 s - 1 t = 1

Então temos que a velocidade máxima é dada por:

v m á x = 600 π 4 s - 1 5   c m

Então temos que:

v m á x = 750 π   c m / s

E com isso terminamos o nosso problema! E arrasamos com ele!

Resposta

( a )

λ = 0,4   m

( b )

x = 0 está fixo e x = 0,5   m é livre.

( c )

f = 75   H z

( d )

T = 180   N

( e )

750 π   c m / s

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