Exercícios Resolvidos de Velocidade e Potência de uma Onda na Corda

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Enunciado

Uma corda de massa especifica linear (ou, densidade linear de massa) μ =   4,0 × 10 - 3   k g / m é tensionada por uma força de tração. Ondas transversais são excitadas na corda e se propagam de acordo com a função senoidal

  y x , t = 1 500 sen ⁡ [ ( 20 π )   x - ( 100 π )   t + π / 6 ] ,  

onde x e   y são dados em metros e t em segundos. Nestas condições, determine:

(a) O deslocamento transversal da corda quando x = 5   m e t = 1 s .

(b) O comprimento de onda λ .

(c) O período T .

(d) A velocidade de propagação da onda v .

(e) A intensidade da força de tensão na corda.

(f) Se dobrarmos o valor da amplitude da onda dada pela função y ( x . t ) acima, de quanto aumenta a potência transmitida pela onda?

Passo 1

a)

Ele nos deu a função de propagação das ondas transversais:

y x , t = 1 500 sen ⁡ [ ( 20 π )   x - ( 100 π )   t + π / 6 ] ,  

E nos pediu o deslocamento transversal ( y ) em um ponto e instante específico. Então é só substituir!

y 5 , 1 = 1 500 sen ⁡ [ ( 20 π )   5 - ( 100 π ) 1 + π / 6 ]

y 5,1 = 1 500 sen ⁡ [ π / 6 ]  

y 5,1 = 1 500   1 / 2  

y 5,1 = 10 - 3 m

Show!

Passo 2

b)

Vamos comparar a equação de onda transversal genérica com essa que ele nos deu:

y x , t = A sen ⁡ [ k   x + ω   t + ϕ ,  

Vamos ver quem é quem: A   é a amplitude da onda. k é o número de onda, ω   é a frequência angular e ϕ é a defasagem.

Então, comparando:

y x , t = 1 500 sen ⁡ [ ( 20 π )   x - ( 100 π )   t + π / 6 ] ,  

k = 20 π   r a d / m

Mas o número de onda é dado por

k = 2 π λ

Então

λ = 2 π 20 π = 0,1 m

Fechou??

Passo 3

c)

Como vimos no ítem anterior, temos que:

ω = 100 π   r a d / s

Mas ω é definido por

ω = 2 π T

Então o período vale:

T = 2 π 100 π = 1 50 = 0,02 s

Passo 4

d)

A velocidade de propagação da onda é dada por

v = λ f

Já achamos o λ

v = 0,1 f

E a frequência pode ser encontrada a partir da frequência angular:

ω = 2 π T = 2 π f

Então

f = 100 π 2 π = 50   H z

Com isso:

v = 0,1 f

v = 0,1 ( 50 )

v = 5   m / s

Tá acabando! Vamos lá!!!

Passo 5

e)

A velocidade de propagação de ondas em cordas é dada por

v = τ μ

Então

τ = μ v 2

Substituindo os valores:

τ =   4,0 × 10 - 3 5 2

τ = 0,1 N

Passo 6

f)

Agora ele quer saber da potência.

A potência média transmitida por uma onda é:

P m é d = 2 μ v π A f 2

Então se A ' = 2 A , a nova potência será

P m é d ' = 2 μ v π 2 A f 2

P m é d ' P m é d = 4

Logo

P m é d ' = 4 P m é d

A potência foi multiplicada por 4!

Resposta

a) y 5,1 = 10 - 3 m

b)

λ = 0,1 m

c) T = 0,02 s

d) v = 5 m s

e) τ = 0,1 N

f) P m é d ' = 4 P m é d

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