Exercícios Resolvidos de Velocidade e Potência de uma Onda na Corda

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Enunciado

Uma onda senoidal monocromática se propaga em um trecho de uma corda em que essa é uniforme. A corda, disposta horizontalmente, apresenta, no entanto, um segundo trecho em que a sua densidade linear é uniforme, mas diferente da inicial. A tensão na corda é a mesma ao longo dela toda. As figuras a seguir representam fotografias da corda no primeiro trecho (superior) e no segundo trecho (inferior).

As figuras foram construídas com escalas verticais distintas e muito exageradas, mas com a mesma escala horizontal. Justifique cada resposta.

a   A frequência de onda é a mesma nos dois trechos?

b   O comprimento de onda é o mesmo nos dois trechos?

c   Qual trecho apresenta densidade linear maior?

d   Indique na figura a direção e o sentido da velocidade instantânea do ponto material da corda indicado na figura. Indique também um ponto cuja velocidade instantânea seja igual a zero v = 0

Passo 1

a   A frequência da onda é dada pela fonte que gera a onda. Essa fonte que vai determinar a frequência com que a onda vai se propagar.

Então não importa a característica do trecho a frequência é igual. Por isso a resposta é: Sim!

Passo 2

b   O eixo x do gráfico é tempo t ou distância X ? Distância, pois o enunciado diz que é uma fotografia da onda, então fixou um tempo t 0 e a foto mostra a posição da corda em cada distância X .

Se o eixo x é distância então fica fácil descobrir o comprimento de onda. Basta olharmos a distância em que a onda começa a se repetir.

Fazendo isso vemos que no trecho I a onda começa a se repetir ente 0,5   e 1, já a onda no trecho I I começa a se repetir pouco antes de 0,5 .

E isso mostra que o comprimento de onda no trecho I é maior que no trecho I I .

λ I > λ I I

Passo 3

c   Qual trecho tem maior densidade linear? Bem, a única formula que temos que relaciona densidade linear é a da velocidade, certo?

v = T μ

Mas não temos a velocidade, então não conseguimos usar essa fórmula ainda. Mas sabemos que a velocidade pode ser dada por:

v = λ . f

A frequência já vimos que é a mesma nos dois trechos, já o comprimento de onda vimos que um é maior que o outro. Podemos relacionar isso com o comprimento de onda, já que a tensão também é a mesma para toda a corda.

λ . f = T μ

Como f e T são constantes para os dois trechos da corda. Temos a seguinte equação par cada trecho.

t r e c h o   1 : λ I . f = T μ I

  t r e c h o   2 : λ I I . f = T μ I I

Dividindo uma pela outra temos:

λ I λ I I = 1 μ I μ I I = μ I I μ I

No item anterior vimos que λ I > λ I I , então a igualdade que temos acima, mostra que:

μ I < μ I I

Passo 4

d   Vamos começar do mais simples, os pontos onde temos a máxima amplitude e a mínima, são pontos em que a velocidade é zero. Então vamos indica-los de vermelho

E agora vem a parte que temos que analisar o movimento da partícula quando o tempo passar. Se a velocidade da onda for positiva, adotando o sentido positivo para a direita. Então a partícula vai subir quando o tempo passar, pois a amplitude do ponto anterior ao analisado é maior que a do ponto pedido, onde A = 0 .

Resposta

a Sim.

b Não, λ I > λ I I  

c   μ I < μ I I

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