Exercícios Resolvidos de Velocidade e Potência de uma Onda na Corda

Ver Teoria

Enunciado

Uma onda progressiva transversal está se propagando numa corda infinita esticada. Escolhemos como eixo Ox a extensão da corda quando em repouso e o sentido da progressão como positivo. Seja Oy a direção da vibração da corda. São dadas a velocidade de propagação da onda, v   =   1,0   m / s , e a densidade linear de massa da corda, µ   =   1,0   g / c m . No instante t   =   0 , a forma da onda é dada por y x = A   c o s ( k x ) , onde k = π   m - 1 , A = 1,0   m m .

(a) Determine o comprimento de onda λ dessa onda e faça um esboço dessa onda para - λ 2 ≤ x ≤ + λ 2 em t   =   0 , indicando as escalas escolhidas no eixo Ox e no eixo Oy.

(b) Determine o período T dessa onda e ache a expressão matemática do deslocamento transversal da corda em função de (x,t).

(c) Determine a magnitude da tensão F na corda.

(d) Calcule a partir da potência instantânea (em Watts) a potência média, em um período, transportada pela onda.

Passo 1

(a) O comprimento de onda está relacionado com o número de onda:

k = 2 π λ

λ = 2 π k = 2 π π = 2   m

Temos que a equação dessa onda é y x , t = 0,001   m   c o s ⁡ ( π x )

Temos que esboçar o intervalo - 1 ≤ x ≤ 1

y x = - 1 = y x = 1 = 0,001 cos ⁡ ± π = - 0,001   m

y x = 0 = 0,001 cos ⁡ 0 = 0,001

Juntando essas informações, chegamos no seguinte gráfico:

Passo 2

(b) O período dessa onda está relacionado com a velocidade e o comprimento de onda:

v = λ / T

T = λ v = 2 1 = 2   s

Queremos a equação do deslocamento transversal da onda em função de (x,t). De modo geral temos:

y x , t = A   c o s ⁡ ( k x ± ω t + ϕ )

Como a onda se propaga no sentido positivo de x, vamos usar – ω t . E vamos usar ϕ = 0 .

ω = 2 π f = 2 π T = 2 π 2 = π   r a d / s

Juntando os dados:

y x , t = 0,001   m   c o s ⁡ ( π x - π t )

Passo 3

(c) Queremos a tensão (F) na corda. Para uma onda se propagando na corda temos a seguinte relação:

v = F μ

Onde μ = 1 g / c m = 0,1   k g / m

F = μ v 2 = 0,1 1 2 = 0,1   N

Passo 4

(d) Primeiro vamos calcular a potência instantânea transportada por essa onda.

Ela vai ser a componente transversal da tensão na corda ( F y ) vezes a velocidade transversal na corda ( v y )

P x , t = F y x , t v y x , t

P x , t = - F ∂ y ∂ x ∂ y ∂ t

∂ y ∂ x = ∂ ∂ x A cos ⁡ k x - ω t =   - k A   s e n k x - ω t

∂ y ∂ t = ω A   s e n ( k x - ω t )

Juntando tudo:

P x , t = F A 2 ω k   s e n 2 ( k x - ω t )

P x , t = ( π 2 × 10 - 7   W )   s e n 2 ( π x - π t )

Passo 5

Para a potência média em um período, usamos o teorema do valor médio

P - = 1 T ∫ 0 T P x , t d t

P - = F A 2 ω k 1 T ∫ 0 T s e n 2 k x - ω t d t

O segundo termo é justamente o valor médio de seno ao quadrado. Como este varia harmonicamente entre 0 e 1, em um período completo temos que:

1 T ∫ 0 T s e n 2 k x - ω t d t = 1 2

Então:

P - = F A 2 ω k 2

P - = π 2 2 × 10 - 7   W

Resposta

  1. λ = 2   m
  2. T = 2   s , y x , t = 0,001 cos ⁡ π x - π t
  3. F = 0,1   N
  4. P = ( π 2 × 10 - 7   W )   s e n 2 ( π x - π t ) , P - = π 2 2 × 10 - 7   W

Exercícios de Livros Relacionados

A figura mostra o deslocamento y do ponto de uma corda situado em x = 0 em função do tempot quando uma onda passa pelo ponto. A escala do eixo y é definida por y=6,0m m . A onda tem a forma y x ,t = y
Em um experimento com ondas estacionárias, uma corda de 90c m de comprimento está presa a um dos braços de um diapasão excitado eletricamente, que oscila perpendicuJarmente à corda com uma frequência
Uma onda senoidal transversal se propaga em corda no sentido positivo de um eixo x com uma velocidade de 80m / s . No instante t = 0 , uma partícula da corda situada em x = 0 possui um deslocamento tr
Na figura a , a corda 1 tem uma massa específica linear de 3,00g / m e a corda 2 tem uma massa específica linear de 5,00g / m . As cordas estão submetidas à tensão produzida por um bloco suspenso de m
A figura mostra a velocidade transversal u em função do tempo t para o ponto de uma corda situado em x = 0 , quando uma onda passa por ele. A escala do eixo vertical é definida por u s = 4,0m / s . A