Exercícios Resolvidos de Velocidade e Potência de uma Onda na Corda

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Enunciado

Uma fonte de vibração é colocada na extremidade de uma corda esticada fazendo com que o deslocamento vertical y na extremidade ( x = 0 ) seja dado pela equação y 0 ,   t = 0 ,   1   s e n ( 2 π t ) , onde y é dado em metros e t em segundos. A tensão na corda é de 4   N e a massa por unidade de comprimento é de 0,01   k g . m - 1 . Considere que a corda seja longa o suficiente de modo que efeitos de interferência e reflexão de ondas na corda possam ser desprezados.

  1. Qual é a velocidade da onda gerada na corda?
  2. Qual é a frequência da onda?
  3. Qual é o comprimento de onda?
  4. Escreva, como função do tempo, o deslocamento transversal y ( x , t ) de um ponto da corda situado a uma distância x à direita da extremidade ( x > 0 ).
  5. Calcule a intensidade da onda progressiva gerada.

Passo 1

a):

Essa é fácil. Basta a gente aplicar a fórmula:

v = T μ = 4 0,01 = 20 m / s

Passo 2

b):

Bom, a equação geral pra uma onda propagando é:

y x , t = A c o s ( k x ∓ ω t + ∅ )

Para x = 0 :

y 0 , t = A c o s ( ∓ ω t + ∅ )

Só que aqui a gente pode usar aquela regrinha do cosseno:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n a s e n b

Então:

A c o s ∓ ω t + ∅ = A c o s ∓ ω t cos ⁡ ∅ - A s e n ∓ ω t s e n ( ∅ )

Show! Mas por que isso tudo? Por que vamos comparar essa expressão de cima com 0 ,   1   s e n ( 2 π t ) .

Perceba que se y 0 , t = 0 ,   1   s e n ( 2 π t ) , isso quer dizer que os cossenos das fórmulas se cancelaram. Isso quer dizer uma coisa: ∅ = π 2 .

Por que ai o cosseno dá zero, não é?

Mas isso não importa agora. O Importante aqui é você reconhecer que aquele termo que tá ali dentro do cosseno, o 2 π , é a velocidade angular da onda...

Assim fica fácil calcula a frequência:

2 π f = ω

f = 2 π 2 π = 1 H z

Passo 3

c):

Aqui basta a gente aplicar:

v = λ f   → λ = v f = 20 1 = 20 m

Passo 4

d):

Vamos escrever a equação de onda pra esse caso:

y x , t = A c o s ( k x - ω t + ∅ )

Como o ponto está na direita, ele se propaga pra direita e por isso – ω .

A gente viu que ∅ = π 2 . Agora só jogar na fórmula:

y x , t = 0,1 cos ⁡ k x - 2 π t + π 2

Bom, k pode ser calculado por:

k = 2 π λ = 2 π 20 = π 10

Logo:

y x , t = 0,1 . cos ⁡ π 10 x - 2 π t + π 2

Passo 5

e):

A intensidade de uma onda pode ser calculada por:

I = 1 μ v ω 2 A 2 2 = 1 2 ( ( 0,01 ) 20 2 π 2 0,1 2 = 0,004 π 2 = 0 , 0 39 W

Resposta

a):

20 m / s

b):

f = 1 H z

c):

20 m

d):

y x , t = 0,1 . cos ⁡ π 10 x - 2 π t + π 2

e):

0 , 0 39 W

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