Exercícios Resolvidos de Velocidade e Potência de uma Onda na Corda

Ver Teoria

Enunciado

Considere uma corda sujeita a uma tensão T ,   sobre a qual se encontra uma formiga em x = x f = c t e . A massa m f da formiga é muito menor que a massa do segmento da corda em que ela se encontra. Uma onda harmônica: y x , t = A c o s ( k x - ω t + δ ) é gerada na corda.

  1. Calcule a velocidade da formiga.
  2. Calcule a potência instantânea da onda a partir da sua definição.
  3. Determine o valor máximo da amplitude da onda para que a formiga permaneça presa a corda em qualquer instante de tempo( desconsidere a força com que a formiga se agarra a corda).
  4. Deduza a relação entre a velocidade v da onda, o número de onda e a sua frequência angular.

Passo 1

a):

A formiga está em cima de um segmento da corda, certo?

Então a velocidade da formiga será a velocidade transversal desse segmento de corda, ou seja, a velocidade do “sobe e desce” da oscilação da corda.

Então basta a gente calcular ∂ y x , t ∂ t :

v f o r m i g a = v y = ∂ y x , t ∂ t = ω A s e n k x - ω t + δ

Passo 2

b):

Bora lá: A definição da potência é:

P = - F . ∂ y x , t ∂ x . ∂ y x , t ∂ t

Quem é essa força F ? Nesse problema, é a tensão T que está sob a corda.

A gente já calculou ∂ y x , t ∂ t   , só falta calcular ∂ y x , t ∂ x . Então:

∂ y x , t ∂ x = - k A s e n k x - ω t + δ

Então:

P = - T . - k A s e n k x - ω t + δ . ω A s e n k x - ω t + δ

P = T k ω A 2 s e n 2 ( k x - ω t + δ )

Passo 3

c):

Nesse tipo de questão a gente sempre vai ter que analisar o máximo da aceleração transversal que os elementos da corda podem ter.

Por que? Porque a oscilação da corda vai gerar uma aceleração que vai equiparar o peso do corpo e, quando esses dois se igualarem, você vai descobrir o que o enunciado pede.

Mas sem lenga-lenga, vamos partir pra a ação:

A aceleração do corpo é:

a y = ∂ 2 y x , t ∂ t 2 = ∂ v y x , t ∂ t = - ω 2 A c o s ( k x - ω t + δ )

Ok, e aceleração de y vai ter um máximo quando a função cosseno que ela tem tiver um máximo, ou seja, quando c o s k x - ω t + δ = - 1 :

a y m á x = ω 2 A

Por que - 1 e não 1 ? Por causa do sinal de menos na frente da fórmula de a y , que apareceu graças à derivação.

Enfim, na iminência de se desprender da corda, o peso da formiga vai ser equilibrado pela força causa por essa aceleração:

P - F a c e l e r a ç ã o = 0

P = F a c e l e r a ç ã o

m f g = m f a y

a y = g

ω 2 A = g   → A m á x = g ω 2

E é isso (:

Passo 4

d):

Bom, a gente já sabe isso porque tem no nosso capítulo. Mas vamos deduzir aqui de novo:

ω = 2 π T

Agora é só a gente multiplicar isso ai por λ λ :

ω = 2 π λ . λ T = k v

ω = k v

Resposta

a):

v y = ω A s e n k x - ω t + δ

b):

P = T k ω A 2 s e n 2 ( k x - ω t + δ )

c):

A m á x = g ω 2

d):

Demonstração de ω = k v

Exercícios de Livros Relacionados

A figura mostra o deslocamento y do ponto de uma corda situado em x = 0 em função do tempot quando uma onda passa pelo ponto. A escala do eixo y é definida por y=6,0m m . A onda tem a forma y x ,t = y
Em um experimento com ondas estacionárias, uma corda de 90c m de comprimento está presa a um dos braços de um diapasão excitado eletricamente, que oscila perpendicuJarmente à corda com uma frequência
Uma onda senoidal transversal se propaga em corda no sentido positivo de um eixo x com uma velocidade de 80m / s . No instante t = 0 , uma partícula da corda situada em x = 0 possui um deslocamento tr
Na figura a , a corda 1 tem uma massa específica linear de 3,00g / m e a corda 2 tem uma massa específica linear de 5,00g / m . As cordas estão submetidas à tensão produzida por um bloco suspenso de m
A figura mostra a velocidade transversal u em função do tempo t para o ponto de uma corda situado em x = 0 , quando uma onda passa por ele. A escala do eixo vertical é definida por u s = 4,0m / s . A