Exercícios Resolvidos de Velocidade e Potência de uma Onda na Corda

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Enunciado

A figura ao lado mostra dois gráficos que representam uma onda transversal em uma corda de 200   g de massa e 1   m de comprimento, descrita por uma função y ( x ,   t ) . A onda está se movendo no sentido positivo de x . Com base nesses dados e na informação contida nesses gráficos, determine:

Obs: justifique todas as respostas

  1. A amplitude e frequência da onda.
  2. O comprimento de onda e a velocidade da onda.
  3. A expressão y ( x , t ) que descreve a onda.
  4. A tensão na corda.

Passo 1

a):

A onda tem uma fórmula básica assim:

y x , t = A c o s k x ∓ ω t + φ

Pelo gráfico, a gente percebe que a amplitude é:

A = 1   c m

Já que esse é o máximo valor que ele alcança.

Além disso, podemos observar no gráfico da direita que o espaço de tempo que se passa entre dois picos é:

T = 0,2 s

Então, a frequência é:

f = 1 T = 1 0,2 = 5   H z

Ou:

ω = 2 π f = 10 π   r a d / s

Já que o enunciado não especificou qual frequência( a linear ou a angular) que ele queria.

Passo 2

b):

O gráfico da esquerda mostra que os valores de y se repetem a cada 4 c m . Logo, é esse o valor de λ :

λ = 4 c m

E como calcular a velocidade?

É só fazer:

v = λ T = λ f = 4.5 = 20 c m / s

Passo 3

c):

Vamos montar a fórmula:

y x , t = A c o s k x ∓ ω t + φ

Bom, a gente já calculo ω :

ω = 2 π T = 10 π   r a d / s

E:

k = 2 π λ = 2 π 4 = π 2

OBS.: repare que a unidade de k é r a d / c m . Desta forma, os valores de x na nossa expressão para y x , t devem ser colocados em c m .

Já sabemos quase tudo da fórmula, então ele tá assim:

y x , t = cos ⁡ π 2 x - 10 π t + φ

Por que - 10 π ? Bom, o enunciado nos deu o sentido da onda. Ela esta seguindo o sentido positivo de x , então tem que ser assim, com um menos na frente (:

Então a gente só precisa determinar φ .

Vamos usar alguns pontos dos gráficos. Pelo gráfico da direita, sabemos que:

y 0,0 = 0 → cos ⁡ 0 + 0 + φ = 0

cos ⁡ φ = 0 →   φ = ∓ π 2

Agora vamos usar o gráfico da esquerda. Por ele, sabemos que y x = 1,0 = - A = - 1 .

Então:

t = 0

cos ⁡ π 2 . 1 - 0 + φ = - 1

cos ⁡ π 2 + φ = - 1

π 2 + φ = π →   φ = π 2

Show?

Então:

y x , t = cos ⁡ π 2 x - 10 π t + π 2 c m

Passo 4

d):

Ai a gente tem que usar: v = T μ   → T = v 2 μ

A gente já calculou v , mas quanto vale a densidade linear μ ?

Bom, a densidade linear, por definição, é:

μ = m L

Como sabemos a massa da corda e o seu comprimento:

μ = 0,2 1 = 0,2   k g / m

Como estamos usando unidades com m , precisamos passar a nossa velocidade pra m / s :

20 c m / s = 0,2 m / s

Então:

T = 0,2 2 . 0,2 = 0,04 . 0,2 = 0,008   N = 8 x 10 - 3 N

Resposta

a):

A = 1   c m

f = 5   H z

ω = 10 π   r a d / s

b):

v = 20 c m / s

λ = 4 c m

c):

y x , t = cos ⁡ π 2 x - 10 π t + π 2 c m

d):

T = 8 x 10 - 3 N

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