Exercícios Resolvidos de Velocidade e Potência de uma Onda na Corda

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Enunciado

Uma onda harmônica se propaga em uma corda fazendo a corda oscilar na direção y . A massa específica linear da corda é 2 , 5   g / c m . Os deslocamentos da corda nas posições x   =   5   c m e x   =   10   c m variam com o tempo de acordo com as seguintes equações:

y x = 5 , t = 7,0 . s e n 3 π 4 - 4 π t ,     y x = 10 , t = 7,0 . s e n π - 4 π t .

Onde o tempo está em segundos, ao passo que y   e   x estão em centímetros.

  1. Quais são a amplitude e o período dessa onda harmônica?
  2. Se λ for o valor do comprimento de onda em metros, qual será a tensão na corda em termos de λ ?
  3. Qual é o maior comprimento de onda compatível com os dados do enunciado?

Dica: Note que a função y ( x   =   10 ;   t ) pode ser equivalentemente escrita como y x   =   10 ;   t =   7 , 0 .   s e n π - 4 π t + 2 π n para qualquer número inteiro n , ou seja, uma fase de 2 π n pode ter sido omitida no enunciado. Por isso, há vários valores possíveis para o número de onda angular.

Passo 1

a)

A equação da onda é dada por:

y x , t = A s e n k x - ω t + φ

O sinal já foi acertado pra direção da onda do enunciado.

Bom, olhando essa equação, você pode perceber que A = 7,0 c m e ω = 4 π   r a d / s .

E o período? Tiramos daqui ó:

ω = 2 π T → T = 2 π ω = 2 π 4 π = 0,5 s

Assim:

A = 7,0 c m

T = 0,5 s

Passo 2

b)

A velocidade da onda é dada por:

v = λ T

Aplicando o valor do período:

v = λ 0,5 = 2 λ

E a velocidade também pode ser dada por:

v = T μ

Aplicando o valor da densidade da corda(antes vamos converter pro SI):

2,5 g / c m = 2,5.10 - 3 k g / 10 - 2 m = 2,5.10 - 1 k g / m

v = T 2,5.10 - 1

Assim:

2 λ = T 2,5.10 - 1 → T = 4 λ 2 . 2,5.10 - 1 = λ 2   N

Passo 3

c)

Lembrando da equação da onda:

y x , t = A s e n k x - ω t + φ + 2 π n

Comparando com a equação dada em x = 5 c m e em x = 10 c m :

y x = 5 , t = 7,0 . s e n 3 π 4 - 4 π t = 7 s e n 5 k - 4 π t + φ + 2 π n 1

Assim:

5 k + φ = 3 π 4 + 2 π n 1

Fazendo o mesmo para o caso em que x = 10 c m :

y x , t = 7 s e n 10 k - 4 π t + φ + 2 π n 2 = 7,0 . s e n π - 4 π t .

Assim:

10 k + φ = π + 2 π n 2

Perceba que passamos os 2 π n 2 pro outro lado de cada equação sem muitas considerações. Afinal de contas, para o seno, tanto faz se é – π   o u   π .

Assim, ficamos com as equações:

5 k + φ = 3 π 4 + 2 π n 1

10 k + φ = π + 2 π n 2

Subtraindo a primeira da segunda:

5 k = π 4 + 2 π n 2 - n 1

Dando uma manipulada:

k = 2 π 5.8 1 + 8 n 2 - n 1

E lembrando que:

k = 2 π λ → λ = 2 π k = 2 π 2 π 5.8 1 + 8 n 2 - n 1 = 40 1 + 8 n 2 - n 1

Ufa!!! O maior comprimento de onda vai ser gerado quando denominador ali de cima for mínimo, ou seja, n 1 = n 2 :

λ m á x = 40 c m

Resposta

a)

A = 7,0 c m

T = 0,5 s

b)

T = λ 2   N

c)

λ m á x = 40 c m

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