Exercícios Resolvidos de Velocidade e Potência de uma Onda na Corda

Ver Teoria

Enunciado

Uma onda propaga-se numa corda na direção x em sentido negativo com velocidade de 10,0   m / s . A tração na corda é de 3,0 N . A expressão do deslocamento dos pontos da corda em função do tempo é:

y x , t = y m s e n ( k x ∓ ω t + φ )

No instante t = 0 , os deslocamentos ao longo de x são dados pelo gráfico abaixo.

  1. Determine a amplitude do deslocamento e o comprimento de onda.
  2. Determine o ângulo de fase φ .
  3. Calcule k e ω (deixe em função de π ) e escreva a função y ( x , t ) para essa onda, escolhendo corretamente o sinal na frente de ω .
  4. Obtenha e velocidade transversal dos pontos da corda em função de x e t .
  5. Calcule a energia média por unidade de tempo transmitida pela corda.

Passo 1

a):

Galera, a gente pode descobrir isso analisando o gráfico. Pelo gráfico, os ciclos se repetem a cada 4,00 m , logo, esse é o comprimento de onda.

Você pode ver, por exemplo, o ponto x = 2,0 e o ponto x = 6,00 m . Os dois tem y = 0 .

λ = 4,00 m

E a amplitude é o máximo valor de y . O maior valor disso vai ser o valor de um pico, e como dá pra ver ali no gráfico, esse valor é 0,1 m :

A = 0,1 m

Passo 2

b):

A fórmula de y segue o padrão de uma equação de onda, ou seja:

y x , t = y m s e n ( k x ∓ ω t + φ )

Então, em x = 0 e t = 0 :

y 0,0 = y m s e n φ = 0,1 s e n ( φ )

Po, mas pelo gráfico, o valor de y ( 0,0 ) é:

y 0,0 = 0,05

0,1 s e n φ = 0,05   → s e n φ = 0,5

φ = π 6

Passo 3

c):

Pra calcular k é fácil, já que já temos o valor de λ :

k = 2 π λ = 2 π 4 = π 2

E pra achar ω , vamos usar a relação:

k v = ω   → ω = π 2 . 10 = 5 π

Passo 4

d):

A velocidade transversal é derivada parcial da função posição em relação ao tempo, lembra?

Mas antes, vamos escrever a função y ( x , t ) , já que já temos todas as informações:

y x , t = 0,1 s e n π 2 x + 5 π t + π 6

Então:

v y = ∂ y ∂ t = 5 π . 0,1 cos ⁡ π 2 x + 5 π t + π 6 = 0,5 π cos ⁡ π 2 x + 5 π t + π 6

Passo 5

e):

E energia por unidade de tempo é a potência. A gente vai usar aquela velha fórmula:

P = 1 2 μ v ω 2 A 2

Temos quase tudo, menos a densidade linear. Então:

v = T μ   → μ = T v 2 = 3 10 2 = 0,03

Então:

P = 1 2 . 0,03 . 10 . 5 π 2 . 0,1 2 ≅ 0,370 W

Resposta

a):

λ = 4,00 m

A = 0,1 m

b):

φ = π 6

c):

k = π 2

ω = 5 π

d): v y = 0,5 π cos ⁡ π 2 x + 5 π t + π 6

e):

P ≅ 0,370 W

Exercícios de Livros Relacionados

A figura mostra o deslocamento y do ponto de uma corda situado em x = 0 em função do tempot quando uma onda passa pelo ponto. A escala do eixo y é definida por y=6,0m m . A onda tem a forma y x ,t = y
Em um experimento com ondas estacionárias, uma corda de 90c m de comprimento está presa a um dos braços de um diapasão excitado eletricamente, que oscila perpendicuJarmente à corda com uma frequência
Uma onda senoidal transversal se propaga em corda no sentido positivo de um eixo x com uma velocidade de 80m / s . No instante t = 0 , uma partícula da corda situada em x = 0 possui um deslocamento tr
Na figura a , a corda 1 tem uma massa específica linear de 3,00g / m e a corda 2 tem uma massa específica linear de 5,00g / m . As cordas estão submetidas à tensão produzida por um bloco suspenso de m
A figura mostra a velocidade transversal u em função do tempo t para o ponto de uma corda situado em x = 0 , quando uma onda passa por ele. A escala do eixo vertical é definida por u s = 4,0m / s . A