Exercícios Resolvidos de Velocidade e Potência de uma Onda na Corda

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Enunciado

Uma onda senoidal é produzida em uma corda comum a densidade linear µ = 2 × 10 - 7 k g / m . Enquanto a onda se propaga, a energia cinética K dos elementos de massa ao longo da corda varia. A Figura abaixo ( a ) mostra, em um certo instante, a taxa de energia cinética d K / d t em função da distância x   ao longo da corda. A Figura abaixo ( b ) é semelhante, exceto pelo fato de que esta mostra a taxa d K / d t em função do tempo t para um dado elemento de massa situado em um certo ponto. Nos dois casos, a escala do eixo vertical é definida por R s = 10 W . Qual é a amplitude da onda expressa em metros?

a 1 π .

b 1 2 π

c 1 2 2 π .  

d 2 π .  

( e )   1 / ( 2 π ) .

Passo 1

Bem , precisamos lembrar um conceito não tão comum para resolvermos esse exercício.

Precisamos lembrar que a potência média pode ser calculada como derivada da energia cinética. Isso tudo porque a potência é a derivada do trabalho

P - = d W d t

Pelo teorema do trabalho, onde relacionamos o trabalho com a energia cinética, podemos dizer que

P - = d K d t

E agora faz sentido o exercício, pois conseguimos através de uma fórmula relacionar a potência com a amplitude A . Pela fórmula:

P - = 2 μ v π A f 2

Onde μ é a densidade linear da corda que foi dada pelo enunciado, v é a velocidade de propagação da onda que é dada por

v = λ f

Onde λ é o comprimento de onda que conseguimos encontrar pelo gráfico e f é a frequência que também conseguimos encontrar pelo gráfico.

P - = 2 μ λ f π A f 2

Isolando a amplitude

A = 1 π f . P - 2 μ λ f

Passo 2

Vamos encontrar os dados que nos falta para resolver o exercício, a potência média foi dada, pois no enunciado o problema fala que R s = 10   W . Vamos analisar o ponto em x = 0   e t = 0 .

Então

P - = 10 W

Passo 3

O comprimento de onda λ iremos descobrir analisando o gráfico d K / d t por x e a frequência pelo gráfico d K / d t por t .

Se pensarmos numa onda senoidal

y x = A s e n k x - ω t

Temos que a sua velocidade transversal é dada por

y ˙ x = d y d t = - A ω c o s k x - ω t

E pensarmos num pedaço da corda com essa velocidade e massa m a sua energia cinética vai ser

K = 1 2 m y ˙ 2 = 1 2 m A 2 ω 2 cos 2 ⁡ k x - ω t

A variação da energia cinética com o tempo vai ser dada por

d K d t = 1 2 m A 2 ω 2 2 cos ⁡ k x - ω t s e n ( k x - ω t ) ( - ω )

Usando arco duplo

s e n 2 α = 2 s e n α cos ⁡ α

Finalmente chegamos em

d K d t = - 1 2 m A 2 ω 3 s e n ( 2 k x - 2 ω t )

Ou seja, um gráfico de d K / d t vai oscilar no tempo e no espaço o dobro o que oscila um gráfico y ( x ) .

Olhando o gráfico de d K / d t por x , vemos que o comprimento de onda pra essa oscilação é 0,1   m . Como y x oscila mais devagar, então o comprimento de onda pra y ( x ) vai ser o dobro disso, ou seja,

λ = 0,2   m

Já o gráfico d K / d t por t , o período dessa oscilação é 1   m s . Como y x oscila mais devagar, então o período pra y ( x ) é o dobro disso, ou seja,

T = 2   m s = 2 × 10 - 3 s

Como queremos a frequência basta usar

f = 1 T = 1 2 × 10 - 3

f = 5 × 10 2   H z

Passo 4

Já encontramos todos os dados para calcular a amplitude da onda, assim

A = 1 π . 5 × 10 2 . 10 2.2 . 10 - 7 . 0,2 . 5 × 10 2

A = 1 π . 5 × 10 2 . 10 6 4 = 1 π . 5 × 10 2 . 10 3 2

A = 1 π m

Beleza, encontramos a amplitude!

Resposta

Alternativa a

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