Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Permutação

IME – Lista de Exercícios I – Professores Aderson Passos, Paulo Henrique Maranhão e Luis Antônio Seabra – Questão 19

Um banco possui um cofre que possui uma tranca com combinação. A tranca requer oito diferentes inteiros entre 1 e 90, que devem ser colocados em qualquer ordem. Entretanto, a tranca permite que 10 inteiros diferentes variando entre 1 e 90 sejam utilizados como uma combinação ou seja, a tranca abrirá se 8 dos 10 números da combinação forem colocados. Encontre a probabilidade de que um ladrão abra a porta na primeira tentativa.

Passo 1

Simbora interpretar o que ele disse?

Tá, ele falou que pra montar a senha desse cofre podemos escolher números de 1 até 90 (90 possibilidades) e que temos que escolher 8 números.

Então de 90 escolhemos 8 certo?

90 8

Essas são todas as possibilidades, ou seja, nosso espaço amostral :)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O enunciado diz também que se digitarmos 10 números e 8 desses forem a chave do cofre, conseguimos acessa-lo. Então de 10 números precisamos acertar apenas 8, ou seja, escolher 8.

10 8

Esse é o nosso evento certo?

Passo 3

Para saber a probabilidade de abrir de primeira o cofre faremos:

P A = # A # Ω = 10 8 90 8

Beleza, agora vamos calcular esse valor lembrando da fórmula para a combinação!

10 8 = 10 ! 8 ! 10 - 8 ! = 10 * 9 * 8 ! 8 ! 2 ! = 10 * 9 2 = 5 * 9 = 45

9 0 8 = 90 ! 8 ! 90 - 8 ! = 90 * 89 * 88 * 87 * 86 * 85 * 84 * 83 * 82 ! 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 82 ! = 77515521435

Por fim, agora é só fazer a probabilidade.

P A = 45 77515521435 = 5,8 * 10 - 10

Ou seja, mesmo com toda essa facilidade de poder escolher dez números, seria bem difícil esse ladrão conseguir abrir a tranca na primeira tentativa rs.

Resposta

P A = 10 8 90 8 = 5,8 * 10 - 10

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