Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Permutação

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,123-38

Um fabricante afirma que apenas 5% de todas as válvulas que produz têm duração inferior a 20 horas. Uma indústria compra semanalmente um grande lote de válvulas desse fabricante, mas sob a seguinte condição: ela aceita o lote se, em dez válvulas escolhidas ao acaso, no máximo uma tiver duração inferior a 20 hora; caso contrário, o lote todo é rejeitado.

a) Se o fabricante de fato tem razão, qual a probabilidade de um lote ser rejeitado?

b) Suponha agora que o fabricante esteja mentindo, isto é, na verdade a proporção de válvulas com duração inferior a 20 horas é de 10%. Qual a probabilidade de um lote ser aceito, segundo o critério acima?

Passo 1

Vaaaamos lá?!

O fabricante diz que apenas 5% das válvulas tem duração inferior a 20 horas OU SEJA: A probabilidade de uma válvula durar menos de 20horas é 5 %   ( = 0,05 ) . Pensando no complementar podemos afirmar que a probabilidade de uma válvula durar mais de 20 horas é   95 %   ( = 0,95 ) .

Queremos calcular a probabilidade de um lote ser rejeitado, certo?!

Temos que a probabilidade de um lote ser rejeitado é a probabilidade complementar dele ser aceito, ou seja

P r e j e i t a d o = 1 - P ( a c e i t o )

Então vamos calcular a probabilidade dele ser aceito, beleza?!

Ele diz que para uma indústria aceitar o lote devemos ter no máximo uma válvula com duração inferior a 20 horas, isto significa que:

- Podemos não ter nenhuma

- Podemos ter uma

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Passo 2

Assim, vamos ter 2 eventos:

1º) Evento A: Não temos nenhuma válvula com duração inferior a 20 horas.

P A = 0,95 10

Passo 3

2º) Evento B: Apenas uma válvula com duração inferior a 20 horas.

Bom, como temos um total de 10 válvulas e apenas uma possui a duração abaixo do padrão, precisamos decidir qual delas será a válvula defeituosa:

10 1 = 10

Lembrando que o nosso evento aqui são os casos favoráveis, beleza?!

Agora calculamos a probabilidade disso ocorrer:

10 . 0,05 1   . 0,95 9

Passo 4

Assim podemos falar que:

P a c e i t o = 0,95 10 + 10 . 0,05 . 0,95 9 = 0,913

Então a probabilidade do loter ser rejeitado:

P r e j e i t a d o = 1 - P a c e i t o = 1 - 0,913 = 0,086

Passo 5

b) Agora mudamos as probabilidades

- Válvula com duração inferior a 20 horas: 10%

- Válvula com duração superior a 20 horas: 90%

A probabilidade de ser aceito será a mesma expressão trocando apenas os valores:

P a c e i t o = 0,90 10 + 10 . 0,1 . 0,9 9 = 0,736

Resposta

a) 0,086

b) 0,736

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