Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Permutação

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Enunciado

De quantas formas podemos lançar um dado 4 vezes e obter soma 7?

Passo 1

E aí pessoal, tudo beleza?

Quais são os possíveis valores que um dado pode dar?

1,2 , 3,4 , 5,6

Certo?

E se eu jogar ele 4x e somar os valores que saíram, vamos ter várias opções né?

Por exemplo:

Se sair essa sequência aqui:

2,3 , 4,5

A soma é

2 + 3 + 4 + 5 = 14

Passou de 7!

É isso que o problema nos pede! De quantas formas podemos lançar um dado 4x e obter a soma de 7!

Passo 2

Então queremos a soma de quatro números que é igual a 7. Não podemos ter nem os algarismos 5 e 6. Pois se cair uma vez quaisquer um desses números, nem se cair o menor valor nas outras três jogadas, a soma vai passar de 7.

Então se cair uma vez o 4 podemos ter:

1 + 1 + 1 + 4

E isso pode se repetir 4 vezes, pois o 4 pode sair nas outras três jogadas. É como se fosse uma permutação de 4 elementos, com a repetição de 3 deles:

4 ! 3 ! = 4.3 ! 3 ! = 4   p o s s i b i l i d a d e s

E podemos listar as possibilidades, saca só:

1 + 1 + 1 + 4

1 + 1 + 4 + 1

1 + 4 + 1 + 1

4 + 1 + 1 + 1

Beleza?

Passo 3

Outra sequência que podemos ter é com 2 e 1 :

2 + 2 + 2 + 1

A soma é 7! E esse 1 pode sair em qualquer uma das três outras jogadas. Temos aqui novamente uma permutação de 4 elementos com 3 repetições:

4 ! 3 ! = 4.3 ! 3 ! = 4   p o s s i b i l i d a d e s

Listando as possibilidades pra não ficar dúvidas:

2 + 2 + 2 + 1

2 + 2 + 1 + 2

2 + 1 + 2 + 2

1 + 2 + 2 + 2

Tranquilo?

Passo 4

Agora pensando com o algarismo 3. Uma das opções para termos o 3 como opção é sair a sequência:

3 + 2 + 1 + 1

E aqui temos bem mais opções de combinações. Temos ainda 4 elementos, mas a repetição é menor, apenas o algarismo 1 repete 2x. Então há mais possibilidades:

4 ! 2 ! = 4.3 . 2 ! 2 ! = 4.3 = 12   p o s s i b i l i d a d e s

Se você ficou em dúvida, eu vou listar aqui as possibilidades, vai com calma, revisa todas:

Com o 3 na primeira posição:

3 + 1 + 1 + 2

3 + 2 + 1 + 1

3 + 1 + 2 + 1

Agora o 3 na segunda posição:

1 + 3 + 1 + 2

1 + 3 + 2 + 1

2 + 3 + 1 + 1

O 3 na terceira posição:

1 + 1 + 3 + 2

1 + 2 + 3 + 1

2 + 1 + 3 + 1

E por fim, o 3 na direita:

1 + 1 + 2 + 3

1 + 2 + 1 + 3

2 + 1 + 1 + 3

Assim temos mais 12 possibilidades!

Passo 5

Então juntando todas essas possibilidades temos:

4 + 4 + 12 = 20

Resposta

20

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