Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Permutação

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Enunciado

Quantos anagramas podemos fazer com as letras de PERNAMBUCO se desejamos não ter vogais vizinhas?

Passo 1

Oi, tudo bem?

Para começar precisamos saber quantas vogais e quando consoantes temos em PERNAMBUCO:

6   c o n s o a n t e s

4   v o g a i s

Então se queremos ter anagramas sem ter vogais vizinhas, estamos falando do Primeiro Lema de Kaplansky!

O primeiro lema nos diz o seguinte: o número de subconjuntos com p elementos de A = { 1,2 , 3 , … , n } nos quais não há números consecutivos é:

f n , p = C n - p + 1 p

Temos 10 letras no total, sendo que 4 delas não podem ser vizinhas (ou consecutivas), então a escolha das posições das vogais pelo primeiro lema é:

f 10,4 = C 10 - 4 + 1 4 = C 7 4 = 7 ! 4 ! 7 - 4 ! = 7 ! 4 ! 3 !

Esse é o número de permutações em que não temos vogais vizinhas!

Agora precisamos permutar o restante! (é um anagrama, no fim das contas!)

Certo?

Passo 2

Então com o passo anterior, garantimos que não teremos vogais vizinhas! E agora? Agora precisamos permutar as outras coisas!

A permutação de 6 consoantes:

6 !

E a permutação de 4 vogais:

4 !

Passo 3

O passo final é multiplicar tudo:

7 ! 4 ! 3 ! ⋅ 4 ! ⋅ 6 ! = 7 ! 6 ! 3 ! = 5040.720 6 = 604.800

Belezinha?

Vamos pra próxima?

Resposta

604.800

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