Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009 pag 413-24

A área da região no primeiro quadrante limitada pela parábola y = 6 x - x 2 e pela reta y = x é de 125 6 unidades quadradas. Encontre o centróide.

Passo 1

Para encontrar o centróide, vamos usar as relações:

x c = D   x   d A D   d A

y c = D   y   d A D   d A

Mas, por sorte, o enunciado já nos dá a área da região, então não precisamos calcular a integral do denominador, já que:

D   d A = Á r e a D = 125 6

Então só vamos precisar calcular as integrais dos numeradores para encontrarmos nosso centróide. Vamos ver como que fica!

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Passo 2

Vamos começar tentando entender melhor nossa região, já que vamos precisar descrevê-la para calcularmos nossa integral dupla.

Se esboçarmos a parábola y = 6 x - x 2 e a reta y = x , vamos ter algo do tipo:

Temos uma região do tipo 1 , com x variando entre 0 e aquele ponto de interseção, que se dá em:

x = 6 x - x 2 x x - 5 = 0

x 1 = 0       x 2 = 5

Então nossa região vai ser descrita por:

D = ( x , y ) R 2 | 0 x 5 , x y 6 x - x 2

E agora podemos calcular nossas integrais.

Passo 3

Vamos começar pela de x c , lembrando a fórmula:

x c = D   x   d A D   d A

Então,temos que calcular:

D   x   d A

Mas como temos nossa região descrita já, podemos fazer:

D   x   d A = 0 5 x 6 x - x 2 x   d y d x

0 5 x y   x 6 x - x 2 d x

= 0 5 6 x 2 - x 3 - x 2   d x = 0 5 5 x 2 - x 3   d x

5 x 3 3 0 5 - x 4 4 0 5 = 625 3 - 625 4 = 625 12

Agora, se substituirmos na fórmula lá de cima, vamos ter:

x c = D   x   d A D   d A

625 12 6 125 = 5 2

Passo 4

Agora vamos fazer a mesma coisa para y c :

y c = D   y   d A D   d A

Então vamos calcular:

D   y   d A = 0 5 x 6 x - x 2 y   d y d x

0 5 y 2 2 x 6 x - x 2 d x = 1 2 0 5 36 x 2 - 12 x 3 + x 4 - x 2   d x

= 1 2 0 5 35 x 2 - 12 x 3 + x 4   d x

1 2 35 x 3 3 0 5 - 3 x 4 0 5 + x 5 5 0 5 = 1 2 7 5 5 3 3 - 3 5 4 + 5 5 5

= 1 2 7 5 4 - 9 5 4 + 3 5 4 3 = 5 4 6 = 625 6

Que se substituirmos na fórmula, vai nos dar:

y c = D   y   d A D   d A = 625 6 6 126 = 5

Resposta

x c = 5 2

y c = 5

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