Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

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Enunciado

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem densidade δ , nos seguintes casos:

d) D é a região limitada pela parábola y 2 = x e a reta y = x - 2 e δ x ,   y = 3 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a massa e o centro de massa da região D , que tem uma densidade δ . E existem algumas definições que nos permitem fazer isso. Assim, a gente pode calcular a massa da região usando a equação:

m = ∬ D δ x ,   y   d A

Onde nossos intervalos de integração são dados pelos intervalos indicados em D , pra x e y . Além disso, podemos encontrar as coordenadas do centro de massa uma lâmina ocupando a região D , por meio das equações:

x ¯ = 1 m ∬ D x δ x ,   y   d A

y ¯ = 1 m ∬ D y δ x ,   y   d A

Então, vamos montar nossas integrais e calcular as propriedades pedidas. Vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos disse que nossa região é limitada pela parábola y 2 = x e a reta y = x - 2 , que é essa área em amarelo:

Repara que o x tá variando da parábola y 2 = x até a reta y + 2 = x . E o y varia dentro das interseções entre as curvas, de - 1 até 2 . Então, nossa integral para a massa m , com δ x ,   y = 3 , vai ser:

m = ∬ D δ x ,   y   d A

m = ∫ - 1 2 ∫ y 2 y + 2 3 d x d y

Integrando em relação x , vamos ter:

m = ∫ - 1 2 3 x y 2 y + 2   d y

Aplicando os limites de integração em x :

m = 3 ∫ - 1 2 y + 2 - y 2   d x

Agora integrando em relação a y :

m = 3 y 2 2 + 2 y - y 3 3 - 1 2

E aplicando os limites de integração em y , encontramos nossa massa:

m = 3 4 2 + 4 - 8 3 - 1 2 + 2 - 1 3

m = 27 2

Passo 3

Agora vamos encontrar as coordenadas do centro de massa usando as integrais do passo 1 . Nossa primeira coordenadas é dada por:

x ¯ = 1 m ∬ D x δ x ,   y   d A

Substituindo m = 27 2 , que encontramos no passo anterior, e os intervalos de integração da região D , temos:

x ¯ = 2 27 ∫ - 1 2 ∫ y 2 y + 2 x ( 3 ) d x d y

x ¯ = 6 27 ∫ - 1 2 ∫ y 2 y + 2 x d x d y

Assim, integrando em relação a x :

x ¯ = 6 27 ∫ - 1 2 x 2 2 y 2 y + 2 d y

E aplicando os intervalos de integração em x :

x ¯ = 6 54 ∫ - 1 2 ( y 2 + 4 y + 4 - y 4 )   d y

Agora integrando em relação a y :

x ¯ = 6 54 y 3 3 + 4 y 2 2 + 4 y - y 5 5 - 1 2

x ¯ = 1 9 3 + 18 - 33 5 = 8 5

Passo 4

Agora calculando a segunda coordenada, vamos usar a equação:

y ¯ = 1 m ∬ D y δ x ,   y   d A

Substituindo os dados da densidade, da massa e da região D :

x ¯ = 2 27 ∫ - 1 2 ∫ y 2 y + 2 y ( 3 ) d x d y

x ¯ = 6 27 ∫ - 1 2 ∫ y 2 y + 2 y d x d y

Assim, integrando em relação a x e aplicando os intervalos:

y ¯ = 6 27 ∫ - 1 2 y x y 2 y + 2   d x = 6 27 ∫ - 1 2   y y + 2 - y 2   d x

= 6 27 ∫ - 1 2 y 2 + 2 y - y 3   d x

E integrando em relação a y :

y ¯ = 6 27 y 3 3 + 2 y 2 2 - y 4 4 - 1 2 = 6 27 8 3 + 4 - 4 + 1 3 - 1 + 1 4

y ¯ = 6 27 9 4 = 1 2

Então, nosso centro de massa tem coordenas 8 5 , 1 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

m = 27 2

8 5 , 1 2

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