Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

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Enunciado

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem densidade δ , nos seguintes casos:

e) D = { x ,   y : 0 ≤ y ≤ sin ⁡ x ,   0 ≤ x ≤ π } e δ x ,   y = y .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a massa e o centro de massa da região D , que tem uma densidade δ . E existem algumas definições que nos permitem fazer isso. Assim, a gente pode calcular a massa da região usando a equação:

m = ∬ D δ x ,   y   d A

Onde nossos intervalos de integração são dados pelos intervalos indicados em D , pra x e y . Além disso, podemos encontrar as coordenadas do centro de massa uma lâmina ocupando a região D , por meio das equações:

x ¯ = 1 m ∬ D x δ x ,   y   d A

y ¯ = 1 m ∬ D y δ x ,   y   d A

Então, vamos montar nossas integrais e calcular as propriedades pedidas. Vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos disse que nossa região é limitada nos intervalos 0 ≤ y ≤ sin ⁡ x e 0 ≤ x ≤ π , com a nossa função densidade δ x ,   y = y . Então, substituindo na nossa definição de massa, temos:

m = ∬ D δ x ,   y   d A

m = ∫ 0 π ∫ 0 sin ⁡ x y d y d x

Integrando em relação y , vamos ter:

m = ∫ 0 π y 2 2 0 sin ⁡ x   d x

Aplicando os limites de integração em y :

m = 1 2 ∫ 0 π sin 2 ⁡ x   d x

Antes de integrar em relação a y , vamos usar a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ ( 2 x ) 2 :

m = 1 2 ∫ 0 π 1 - cos ⁡ ( 2 x ) 2   d x = 1 4 ∫ 0 π 1 - cos ⁡ ( 2 x )   d x

Agora integrando em relação a x :

m = 1 4 x - 1 2 sin ⁡ ( 2 x ) 0 π

E aplicando os limites de integração em x , encontramos nossa massa:

m = 1 4 π - 1 2 sin ⁡ 2 π - 0 + 1 2 sin ⁡ ( 0 )

m = π 4

Passo 3

Agora vamos encontrar as coordenadas do centro de massa usando as integrais do passo 1 . Nossa primeira coordenadas é dada por:

x ¯ = 1 m ∬ D x δ x ,   y   d A

Substituindo m = π 4 , que encontramos no passo anterior, e os intervalos de integração da região D , temos:

x ¯ = 4 π ∫ 0 π ∫ 0 sin ⁡ x x ( y ) d y d x

Assim, integrando em relação a y :

x ¯ = 4 π ∫ 0 π x y 2 2 0 sin ⁡ x d x

E aplicando os intervalos de integração em y :

x ¯ = 4 π ∫ 0 π x 2 ( sin 2 ⁡ x - 0 ) d x = 2 π ∫ 0 π x ( sin 2 ⁡ x ) d x

Usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ ( 2 x ) 2 :

x ¯ = 2 π ∫ 0 π x 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x

= 1 π ∫ 0 π x - x cos ⁡ 2 x d x

Assim, integrando em relação a x e usando a integral por partes no segundo termo da integral, temos:

x ¯ = 1 π π 2 2 - 0 = π 2

Passo 4

Agora calculando a segunda coordenada, vamos usar a equação:

y ¯ = 1 m ∬ D y δ x ,   y   d A

Substituindo os dados da densidade, da massa e da região D :

x ¯ = 4 π ∫ 0 π ∫ 0 sin ⁡ x y ( y ) d y d x

x ¯ = 4 π ∫ 0 π ∫ 0 sin ⁡ x y 2 d y d x

Assim, integrando em relação a y e aplicando os intervalos:

y ¯ = 4 π ∫ 0 π y 3 3 0 sin ⁡ x d x

= 4 3 π ∫ 0 π sin 3 ⁡ x d x

Reescrevendo usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x e integrando em relação a x :

y ¯ = 4 3 π ∫ 0 π 1 - cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d x

y ¯ = 4 3 π - cos ⁡ x + cos 3 ⁡ x 3 0 π

Aplicando os limites de integração:

y ¯ = 4 3 π - cos ⁡ π + cos 3 ⁡ π 3 + cos ⁡ 0 - cos 3 ⁡ 0 3 = 4 3 π 2 - 2 3

y ¯ = 4 3 π ∙ 4 3 = 16 9 π

Então, nosso centro de massa tem coordenas π 2 , 16 9 π .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

m = π 4

π 2 , 16 9 π

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