Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

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Enunciado

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem densidade δ , nos seguintes casos:

a) D = { x ,   y : - 1 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 } e δ x ,   y = x 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a massa e o centro de massa da região D , que tem uma densidade δ . E existem algumas definições que nos permitem fazer isso. Assim, a gente pode calcular a massa da região usando a equação:

m = ∬ D δ x ,   y   d A

Onde nossos intervalos de integração são dados pelos intervalos indicados em D , pra x e y . Além disso, podemos encontrar as coordenadas do centro de massa uma lâmina ocupando a região D , por meio das equações:

x ¯ = 1 m ∬ D x δ x ,   y   d A

y ¯ = 1 m ∬ D y δ x ,   y   d A

Então, vamos montar nossas integrais e calcular as propriedades pedidas. Vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos disse que x varia no intervalo [ - 1 ,   1 ] e y varia em [ 0 ,   1 ] . Além disso, nossa função densidade é dada por δ x ,   y = x 2 . Então, substituindo tudo na integral da massa, temos:

m = ∬ D δ x ,   y   d A

m = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 x 2 d y d x

Então, integrando em relação y , vamos ter:

m = ∫ - 1 1 x 2 y 0 1   d x

Aplicando os limites de integração em y :

m = ∫ - 1 1 x 2 1 - 0 d x

m = ∫ - 1 1 x 2 d x

Agora integrando em relação a x :

m = x 3 3 - 1 1

E aplicando os limites de integração em x , encontramos nossa massa:

m = 1 3 - - 1 3 = 2 3

Passo 3

Agora vamos encontrar as coordenadas do centro de massa usando as integrais do passo 1 . Nossa primeira coordenadas é dada por:

x ¯ = 1 m ∬ D x δ x ,   y   d A

Substituindo m = 2 3 , que encontramos no passo anterior, e os intervalos de integração da região D , temos:

x ¯ = 1 2 / 3 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 x x 2 d y d x

x ¯ = 3 2 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 x 3 d y d x

Assim, integrando em relação a y e aplicando os intervalos:

x ¯ = 3 2 ∫ - 1 1 x 3 y 0 1   d x = 3 2 ∫ - 1 1 x 3   d x

E integrando em relação a x :

x ¯ = 3 2 x 4 4 - 1 1 = 3 2 1 2 4 - - 1 2 4

x ¯ = 3 2 0 = 0

Passo 4

Agora calculando a segunda coordenada, vamos usar a equação:

y ¯ = 1 m ∬ D y δ x ,   y   d A

Substituindo os dados da densidade, da massa e da região D :

y ¯ = 1 2 / 3 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 y x 2 d y d x

y ¯ = 3 2 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 y x 2 d y d x

Assim, integrando em relação a y e aplicando os intervalos:

y ¯ = 3 2 ∫ - 1 1 x 2 y 2 2 0 1   d x = 3 2 ∫ - 1 1 x 2 1 2 - 0 2   d x

= 3 4 ∫ - 1 1 x 2   d x

E integrando em relação a x :

y ¯ = 3 4 x 3 3 - 1 1 = 3 4 1 3 3 - - 1 3 3

y ¯ = 3 4 2 3 = 6 12 = 1 2

Então, nosso centro de massa tem coordenas 0 , 1 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

m = 2 3

0 , 1 2

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