Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

Ver Teoria

Enunciado

Encontre a massa e o centroide das lâminas abaixo:

b) a lâmina delimitada pelo eixo, a reta x = 1 e a curva x = y 4 e de densidade δ = 14

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Dadas as funções:

Onde essa parte é a área.

A parte mais importante é sabermos usar a função recebida para montarmos gráfico, por quê?

Sabemos que a densidade é a massa dividido pela área, ou seja:

δ = m A

De forma que:

m = ∫ δ   d A

E ainda o centroide:

x - = ∫ x   d A A

y - = ∫ y   d A A

Para y a função deve ser inversa

Veja como que a Área é bastante importante. Bom a área é dada por:

A = ∫ a b f x d x

Onde f ( x ) é a função dada. Viu como a área é importante?! Bom ... Vamos lá?

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Façamos antes a área:

y = f x = x 1 4

Assim:

A = ∫ 0 1 x 1 4 d x = 4 5 x 5 4 0 1 = 4 5

De forma que para obtermos a massa temos o infinitesimal d A = f x d x = x 1 4 d x

Passo 3

Agora sim podemos obter a massa:

m = ∫ 0 1 δ d A = ∫ 0 1 14   x 1 4 d x = 14 4 5 x 5 4 0 1 = 56 5

∴ m = 56 5

Para as coordenadas do centroide:

Para a coordenada x do centroide:

x - = ∫ x   x 1 4 d x 4 5

Como x * x 1 4 = x 5 4

x - = ∫ x 5 4 d x 4 5 = 5 4 4 9 x 9 4 0 1 = 5 9

x - = 5 9

Para a coordenada y:

g y = x = y 4

Assim:

y - = ∫ y   y 4 d y A = ∫ 0 1 y 5 d y 4 5 = 5 4 1 6 y 6 0 1 = 5 24

y - = 5 24

Assim o centroide é:

C - = 5 9 , 5 24

Resposta

A massa:

m = 56 5

E a coordenada pro centroide:

C - = 5 9 , 5 24

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é uma região triangular com vértices 0 ,0 ,2 ,1 ,0 ,3 ; ρ x ,y = x + y
(a) Verifique que f x ,y = 4 x y , s e0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 0 , c a s oc o n t r á r i o á é uma função densidade conjunta.(b) Se X e Y são variáveis aleatórias cuja função densidade conjunta é f da par
Use a Regra do Ponto Médio para as integrais duplas com m = n = 2 para estimar a área da superfície z = x ⋅ y + x 2 + y 2 , 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 Use um sistema de computação algébrica para aproximar
Determine a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando a área em termos de integral de função de uma variável real e use sua calculadora para estimar o valor da integral.A p
A figura mostra a superfície criada quando o cilindro y 2 + z 2 = 1 intercepta o cilindro x 2 + z 2 = 1 . Determine área dessa superfície