Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

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Enunciado

Encontre a massa eo centroide das laminas abaixo

  1. A lamina delimitada pelo eixo x, a reta x = 1 e acurva y = x e de densidade δ = 2

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Dada as funções:

Onde essa parte é a área.

A parte mais importante é sabermos usar a função recebida para montarmos gráfico, por quê?

Sabemos que a densidade é a massa dividido pela área, ou seja:

δ = m A

De forma que:

m = ∫ δ   d A

E ainda o centroide:

x - = ∫ x   d A A

y - = ∫ y   d A A

Para y a função deve ser inversa

Veja como que a Area é bastante importante. Bom a área é dada por:

A = ∫ a b f x d x

Onde f ( x ) é a função dada. Viu como a área é importante?! Bom ... Vamos lá?

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Façamos antes a área:

A = ∫ d A = ∫ a b f x d x = ∫ 0 1 x d x = 2 3   x 3 2 0 1 = 2 3

E como d A = f x d x = x   d x já temos o que precisamos para obter a massa e o centroide.

Passo 3

Para a massa:

m = ∫ 0 1 δ   d A = ∫ 0 1 2   x   d x = 2 2 3 x 3 2 0 1 = 4 3

∴ m = 4 3

Para as coordenadas do centroide:

Para a coordenada x do centroide:

x - = ∫ x   x     d x 2 3

Como x * x = x 3 2

x - = ∫ x 3 2     d x 2 3 = 3 2 2 5 x 5 2 0 1 = 3 5

Para a coordenada y:

ANTES, devemos achar a função g y , assim:

y = x → x = y 2

De forma dA:

d A = g y d y = y 2 d y

Agora sim podemos achar a nossa coordenada y do centroide:

y - = ∫ y   y 2 d y A = ∫ 0 1 y 3 d y 2 3 = 3 2 1 4 y 4 0 1 = 3 8

Assim o centroide é:

C - = 3 5 , 3 8

Assim fica o centroide no nosso objeto:

Resposta

A massa:

m = 4 3

E a coordenada pro centroide:

C - = 3 5 , 3 8

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