Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

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Enunciado

Encontre o centroide das seguintes regiões:

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

O centroide é a coordenada do centro geométrico um objeto.

O centroide é dado por:

x - = ∫ x   d A A

y - = ∫ y   d A A

Para y a função deve ser inversa

Veja como que a Area é bastante importante, pois ela aparece e também o seu valor infinitesimal. Bom a área é dada por:

A = ∫ a b f x d x = ∫ d A

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Sendo assim, a área é:

A = ∫ a b f x d x

Primeiro para facilitar precisamos saber quais são os limites de integração. Como podemos ver na imagem, vai de 0 até ponto onde as funções são iguais, então vamos achar ode que as funções se igualam:

2 - x 2 = x

Passando tudo pro mesmo lado:

x 2 + x - 2 = 0

Aplicando bhaskara:

x = - 1 ± 9 2

Como no gráfico nos importa somente o valor positivo, logo:

x = - 1 + 9 2 = 1

Logo os limites de integração vão de 0 até 1. Assim podemos achar nossa área, sabendo que a função f(x) é a função superior menos a inferior:

f x = 2 - x 2 - x

A = ∫ 0 1 2 - x 2 - x d x = 2 x - x 3 3 - x 2 2 0 1 = 2 - 1 3 - 1 2 = 7 6

E como dado, f x d x = d A , então d A = ( 2 - x 2 - x ) d x

Passo 3

Já que conseguimos a área, então podemos obter as coordenadas do nosso centroide.

Para a coordenadas x:

x - = ∫ x   d A A = ∫ 0 1 x 2 - x 2 - x d x 7 6 = ∫ 0 1 2 x - x 3 - x 2 d x 7 6 = 6 7 2 x 2 2 - x 4 4 - x 3 3 0 1 = 6 7 1 - 1 4 - 1 3 = 5 14

E para a coordenada y:

Já que f x = y = 2 - x 2 ,   então g y = x = 2 - y , de forma que y ∈ 0,2

y - = ∫ 0 2 ( 2 - y     y   d y 7 6

Primeiro vamos resolver a integral? Fica mais fácil, não acha?! Então seja:

∫ 0 2 ( 2 - y     y   d y

Façamos um substituição:

2 - y = u

De forma que:

- d y = d u

E:

y = 2 - u

Lembre-se que quando fazemos uma substituição, qualquer que seja, temos que verificar como são os limites nessa transformação, assim:

q u a n d o   y = 0 → u = 2 - 0 = 2

q u a n d o   y = 2 → u = 2 - 2 = 0

Assim a nossa nova integral fica:

∫ 2 0 - u 2 - u d u

Existe uma propriedade importante das integrais, que é:

∫ a b f x d x = - ∫ b a f x d x                            

Ou seja, podemos trocar os limites de integração de ordem, considerando que a volta seria parte negativa.

Assim podemos fazer:

∫ 0 2 u 2 - u d u

Que é também:

∫ 0 2 2 u - u 3 2 = 2 2 3 u 3 2 - 2 5 u 5 2 0 2 = 4 3 2 3 2 - 2 5 2 5 2

Podemos simplificar isso:

4 3 2 * 4 - 2 5 2 * 16 = 8 3 2 - 8 5 2 = 2 8 3 - 8 5 = 16 15 2

Resumindo:

∫ 0 2 ( 2 - y     y   d y = 16 15 2

Achamos o valor da nossa integral, assim podemos retornar à:

y - = ∫ 0 2 ( 2 - y     y   d y 7 6 = 16 15 2 7 6 = 16 15 2 * 6 7 = 96 105   2

Assim são as coordenadas do centroide:

C - = 5 14 , 96 105   2

E assim centroide fica na região:

Resposta

C - = 5 14 , 96 105   2

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