Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

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Enunciado

Encontre o centroide das seguintes regiões:

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

O centroide é a coordenada do centro geométrico um objeto.

O centroide é dado por:

x - = ∫ x   d A A

y - = ∫ y   d A A

Para y a função deve ser inversa

Veja como que a Area é bastante importante, pois ela aparece e também o seu valor infinitesimal. Bom a área é dada por:

A = ∫ a b f x d x = ∫ d A

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Sendo assim, a área é:

A = ∫ a b f x d x = ∫ 0 1 1 - x 2   d x

Geralmente essas integrais são resolvidas por uma substituição trigonométrica, geralmente são:

cos 2 θ ⁡ + sin 2 ⁡ θ = 1

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

E variantes dessa, o que nos libera uma gama de opções.

Sabe dizer qual que você usaria? Se disse cos 2 θ ⁡ + sin 2 ⁡ θ = 1 voce acertou, pois podemos fazer cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ de forma que podemos fazer x ser sin ⁡ θ , veja!!

Façamos:

x = sin ⁡ θ

De forma que:

d x = cos ⁡ θ d θ

Lembre-se que quando fazemos uma substituição, qualquer que seja, temos que verificar como são os limites nessa transformação, assim:

q u a n d o   x = 1 → 1 = sin ⁡ θ → θ = π 2

q u a n d o   x = 0 → 0 = sin ⁡ θ → θ = 0

Assim a nossa nova integral fica:

A = ∫ 0 π 2 1 - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ     d θ

Como dizemos antes cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ , logo cos ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ . Assim:

A = ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ     d θ = ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ   d θ

Sabemos também que cos 2 ⁡ θ = 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 ,   logo:

A = ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ   d θ = ∫ 0 π 2 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2   d θ

A = 1 2 θ + 1 2 sin ⁡ 2 θ 0 π 2 = 1 2 π 2 + 0 - 0 + 0 = π 4

Achamos o valor de nossa área.

E como dado, f x d x = d A , então d A = 1 - x 2   d x

Passo 3

Já que conseguimos a área, então podemos obter as coordenadas do nosso centroide.

Para a coordenadas x:

x - = ∫ x   d A A = ∫ 0 1 x 1 - x 2   d x π 4

Vamos cuidar primeiro da integral? Fica mais simples, não acha? Assim:?

∫ 0 1 x 1 - x 2   d x

Podemos aplicar a mesma técnica que usamos antes, veja!

Façamos:

x = sin ⁡ θ

De forma que:

d x = cos ⁡ θ d θ

E os mesmos limites que usamos antes, nessa mesma situação são os mesmos, ou seja:

q u a n d o   x = 1 → 1 = sin ⁡ θ → θ = π 2

q u a n d o   x = 0 → 0 = sin ⁡ θ → θ = 0

Assim a nossa nova integral fica:

∫ 0 π 2 sin ⁡ θ 1 - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ     d θ = ∫ 0 π 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ θ     d θ = ∫ 0 π 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 2     d θ

Sabemos que d d θ cos ⁡ θ = - sin ⁡ θ ou seja, que a derivada do cosseno é o seno, de forma que podemos tirar proveito disso. Como?

Façamos:

cos ⁡ θ = u

De forma que a derivada:

- sin ⁡ θ   d θ = d u

Lembra dos lance dos limtes? Que têm que mudar também? Assum:

q u a n d o   θ = 0 → u = cos ⁡ 0 = 1

q u a n d o   θ = π 2 → u = cos ⁡ π 2 = 0

Assim a nossa integral fica:

∫ 1 0 - u 2 d u

Existe uma propriedade importante das integrais, que é:

∫ a b f x d x = - ∫ b a f x d x                            

Ou seja, podemos trocar os limites de integração de ordem, considerando que a volta seria parte negativa.

Assim podemos fazer:

∫ 0 1 u 2 d u = x 3 3 0 1 = 1 3

Resumindo:

∫ 0 1 x 1 - x 2   d x = 1 3

Achamos o valor da nossa integral, assim podemos retornar à:

x - = ∫ 0 1 x 1 - x 2   d x π 4 = 1 3 π 4 = 1 3 * 4 π = 4 3 π

E para a coordenada y:

Já que f x = y = 1 - x 2   então g y = x = 1 - y 2

y - = ∫ x   d A A = ∫ 0 1 1 - y 2     y   d y π 4

OPAAAA, já fizemos essa integral antes, certo?! É a mesma que fizemos acima, então sabemos que o resultado final será:

y - = 4 3 π

Assim o centroide fica no ponto:

C - = 4 3 π , 4 3 π

E assim fica o centroide na nossa região:

Resposta

C - = 4 3 π , 4 3 π

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