Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

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Enunciado

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem densidade δ , nos seguintes casos:

c) D é a região do primeiro quadrante limitada pela parábola y = x 2 e a reta y = 1 e δ x ,   y = x y .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a massa e o centro de massa da região D , que tem uma densidade δ . E existem algumas definições que nos permitem fazer isso. Assim, a gente pode calcular a massa da região usando a equação:

m = ∬ D δ x ,   y   d A

Onde nossos intervalos de integração são dados pelos intervalos indicados em D , pra x e y . Além disso, podemos encontrar as coordenadas do centro de massa uma lâmina ocupando a região D , por meio das equações:

x ¯ = 1 m ∬ D x δ x ,   y   d A

y ¯ = 1 m ∬ D y δ x ,   y   d A

Então, vamos montar nossas integrais e calcular as propriedades pedidas. Vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos disse que nossa região tá dentro do primeiro quadrante limitada pela parábola y = x 2 e a reta y = 1 , que é essa área em amarelo:

Repara que o x vai de 0 a 1 na região. E o y varia da parábola y = x 2 até a reta y = 1 . Então, nossa integral para a massa m , com δ x ,   y = x y , vai ser:

m = ∬ D δ x ,   y   d A

m = ∫ 0 1 ∫ x 2 1 x y d y d x

Integrando em relação y , vamos ter:

m = ∫ 0 1 x y 2 2 x 2 1   d x

Aplicando os limites de integração em y :

m = ∫ 0 1 x 2 1 2 - x 2 x 2 2   d x

m = ∫ 0 1 x 2 - x 5 2 d x = 1 2 ∫ 0 1 x - x 5 d x

Agora integrando em relação a x :

m = 1 2 x 2 2 - x 6 6 0 1

E aplicando os limites de integração em x , encontramos nossa massa:

m = 1 2 1 2 - 1 6

m = 1 6

Passo 3

Agora vamos encontrar as coordenadas do centro de massa usando as integrais do passo 1 . Nossa primeira coordenadas é dada por:

x ¯ = 1 m ∬ D x δ x ,   y   d A

Substituindo m = 1 6 , que encontramos no passo anterior, e os intervalos de integração da região D , temos:

x ¯ = 6 ∫ 0 1 ∫ x 2 1 x ( x y ) d y d x

x ¯ = 6 ∫ 0 1 ∫ x 2 1 x 2 y d y d x

Assim, integrando em relação a y :

x ¯ = 6 ∫ 0 1 x 2 y 2 2 x 2 1 d x

E aplicando os intervalos de integração em x :

x ¯ = 6 ∫ 0 1 x 2 1 2 2 - x 4 2   d x

x ¯ = 3 ∫ 0 1 ( x 2 - x 6 )   d x

Agora integrando em relação a x :

x ¯ = 3 x 3 3 - x 7 7 0 1

x ¯ = 3 1 3 - 1 7 = 3 7 - 3 21 = 4 7

Passo 4

Agora calculando a segunda coordenada, vamos usar a equação:

y ¯ = 1 m ∬ D y δ x ,   y   d A

Substituindo os dados da densidade, da massa e da região D :

y ¯ = 6 ∫ 0 1 ∫ x 2 1 y ( x y ) d y d x

y ¯ = 6 ∫ 0 1 ∫ x 2 1 x y 2 d y d x

Assim, integrando em relação a y e aplicando os intervalos:

y ¯ = 6 ∫ 0 1 x y 3 3 x 2 1   d x = 6 ∫ 0 1   x 1 3 - x 6 3 d x

= 2 ∫ 0 1 x - x 7   d x

E integrando em relação a x :

y ¯ = 2 x 2 2 - x 8 8 0 1 = 2 1 2 - 1 8

y ¯ = 2 1 2 - 1 8 = 3 4

Então, nosso centro de massa tem coordenas 4 7 , 3 4 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

m = 1 6

4 7 , 3 4

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