Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

Questão 3: Determine a massa e centro da massa da lâmina que ocupa a região D e tem densidade ρ , onde

D = x ,   y   |   0 ≤ x ≤ 2 ,   - 1 ≤ y ≤ 1 ,         ρ x ,   y = x y 2

Passo 1

Massa de região!!! O que é massa de uma região aqui em cálculo 3 ? SIM! É uma integral dupla especial:

M a s s a D = ∬ D     ρ x ,   y   d A

Como nós já temos uma região bem definida onde:

0 ≤ x ≤ 2 - 1 ≤ y ≤ 1           e           ρ x ,   y = x y 2

Então podemos montar a integral

M a s s a D = ∬ D     ρ x ,   y   d A = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 x y 2   d y d x =

Calculando a integral dupla começando pela de dentro em y e considerando x como constante...

∫ 0 2 x ∫ - 1 1 y 2   d y d x = ∫ 0 2 x y 3 3 - 1 1 d x =

∫ 0 2 x 1 3 - - 1 3 d x = 2 3 ∫ 0 2 x d x =

Integrando essa última...

2 3 x 2 2 0 2 = 2 3 4 2 =

4 3   u . m .

Então essa é a massa, saca? u . m Significa unidades de massa!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Outra coisa que o problema nos pediu foi o centro de massa. Esse centro, você deve se recordar que é um ponto no plano x y , portanto com duas coordenadas:

C e n t r o   d e   M a s s a = x - ,   y -

Para encontrar cada uma dessas coordenadas devemos fazer:

x - = ∬ D   x ⋅ ρ x ,   y d A M a s s a   ( D )

y - = ∬ D   y ⋅ ρ x ,   y d A M a s s a   ( D )

Passo 3

Vamos começar com o cálculo da coordenada x - do centro de massa:

x - = ∬ D   x ⋅ ρ x ,   y d A M a s s a   ( D )

A massa a gente já tem, então basta apenas calcular essa integral aí de forma muito semelhante a primeira que a gente calculou:

∬ D   x ⋅ ρ x ,   y d A = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 x ⋅ x y 2   d y d x =

∫ 0 2 ∫ - 1 1 x 2 y 2   d y d x     →

∫ 0 2 x 2 ∫ - 1 1 y 2   d y d x = ∫ 0 2 x 2 y 3 3 - 1 1 d x =

∫ 0 2 x 2 1 3 - - 1 3 d x = 2 3 ∫ 0 2 x 2 d x =

Integrando essa última...

2 3 x 3 3 0 2 = 2 3 8 3 =

16 9

Logo...

x - = ∬ D   x ⋅ ρ x ,   y d A M a s s a   ( D ) = 16 9 4 3 = 4 3

Passo 4

Para a coordenada y - ...

y - = ∬ D   y ⋅ ρ x ,   y d A M a s s a   ( D )

Calculando a integral...

∬ D   y ⋅ ρ x ,   y d A = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 y ⋅ x y 2   d y d x =

∫ 0 2 ∫ - 1 1 x y 3   d y d x

Assim... Integrando em relação a y ...

∫ 0 2 x ∫ - 1 1 y 3   d y d x = ∫ 0 2 x y 4 4 - 1 1 d x =

∫ 0 2 x 1 4 - 1 4 d x = 0

Logo...

y - = ∬ D   y ⋅ ρ x ,   y d A M a s s a   D = 0 M a s s a   D =

0

Passo 5

Então, podemos concluir com esses dois últimos passos que o centro de massa é:

C e n t r o   d e   M a s s a = x - ,   y - =

4 3 ,   0

Resposta

M a s s a   D = 4 3

C e n t r o   d e   M a s s a = 4 3 ,   0

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