Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

Calcule a massa e o centro do massa da lâmina que ocupa a região triangular no plano delimitada pelas retas y   =   1 ,   x   =   3 e y   =   x   +   1 com densidade ρ ( x ,   y )   =   x .

Lembre que a massa m e o centro de massa ( x - ,   y - ) de uma lâmina que ocupa uma região D no plano são dados por

m = ∬ D ρ x , y d A         x - = 1 m ∬ D x ρ x , y d A         y - = 1 m ∬ D y ρ x , y d A

Passo 1

Bem, aqui vamos ter que calcular três integrais, uma para a massa e mais duas para as coordenadas do centro de massa, mas o enunciado mesmo já dá as fórmulas, então vamos só aplicá-las.

Mas antes de tudo, vamos desenhar as retas para entendermos melhor a região e sabermos os limites da integral certinho:

Que é esse triângulo aí, que é uma região do tipo 1 e do tipo 2 , mas que eu vou usar do tipo 1 só porque é o mais comum, tá?

Então ficamos com 0 ≤ x ≤ 3 e 1 ≤ y ≤ x + 1 de limites e agora vamos lá começar a calcular nossas integrais!

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Passo 2

Vamos começar com a massa, que a gente tinha a fórmula:

m = ∬ D ρ x , y d A = ∫ 0 3 ∫ 1 x + 1 x   d y d x

⇒ ∫ 0 3 x   y │ 1 x + 1 d x = ∫ 0 3 x x + 1 - 1 d x

⇒ ∫ 0 3 x 2 d x = x 3 3 │ 0 3

⇒ 27 3 = 9

Tranquilinho, até, né? Vamos ver se damos sorte com as próximas!

Passo 3

Agora vamos ver a coordenada x - do centro de massa:

x - = 1 m ∬ D x ρ x , y d A

Que a gente até já tem a massa, então ficamos com:

1 9 ∫ 0 3 ∫ 1 x + 1 x 2 d y d x = 1 9 ∫ 0 3 x 2 y │ 1 x + 1 d x

⇒ 1 9 ∫ 0 3 x 3 d x = 1 9 ∙ x 4 4 │ 0 3

⇒ 1 9 ∙ 81 4 = 9 4

Também nada muito bizarro... E só falta uma agora, estamos quase lá!

Passo 4

Finalmente, vamos ver a coordenada y - :

y - = 1 m ∬ D y ρ x , y d A

E vamos substituir tudo:

1 9 ∫ 0 3 ∫ 1 x + 1 y x   d y d x = 1 9 ∫ 0 3 x y 2 2 │ 1 x + 1 d x

⇒ 1 18 ∫ 0 3 x x + 1 2 - 1 2 d x = 1 18 ∫ 0 3 x x 2 + 2 x + 1 - 1 d x

⇒ 1 18 ∫ 0 3 x 3 + 2 x 2 d x = 1 18 x 4 4 │ 0 3 + 2 x 3 3 │ 0 3

⇒ 1 18 81 4 + 2 ∙ 27 3 = 17 8

Essa teve umas continhas mais chatas, mas nada que a gente não soube resolver também.

Resposta

m = 9         x - = 9 4         y - = 17 8

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