Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

Ver Teoria

Enunciado

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem densidade δ , nos seguintes casos:

b) D é o triângulo de vértices ( 0 ,   0 ) , ( 2 ,   1 ) , ( 0 ,   3 ) e δ x ,   y = x + y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a massa e o centro de massa da região D , que tem uma densidade δ . E existem algumas definições que nos permitem fazer isso. Assim, a gente pode calcular a massa da região usando a equação:

m = ∬ D δ x ,   y   d A

Onde nossos intervalos de integração são dados pelos intervalos indicados em D , pra x e y . Além disso, podemos encontrar as coordenadas do centro de massa uma lâmina ocupando a região D , por meio das equações:

x ¯ = 1 m ∬ D x δ x ,   y   d A

y ¯ = 1 m ∬ D y δ x ,   y   d A

Então, vamos montar nossas integrais e calcular as propriedades pedidas. Vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos disse que nossa região varia no triângulo de vértices ( 0 ,   0 ) , ( 2 ,   1 ) , ( 0 ,   3 ) , esse aqui:

Repara que o x vai de 0 a 2 no triângulo. E o y varia da reta de baixo até a reta de cima. Como bastam apenas dois pontos pra descobrir a equação de uma reta y = a x + b e nós temos três pontos, fica fácil substituir os valores de x e y e encontrar os sistemas:

Pra reta de baixo:

a ∙ 0 + b = 0 → b = 0 2 a + 0 = 1 → a = 1 2

Assim,

y = 1 2 x

E pra reta de cima:

a ∙ 0 + b = 3 → b = 3 2 a + 3 = 1 → a = - 1

De modo que:

y = - x + 3

Passo 3

Então, nossa integral para a massa m vai ser:

m = ∬ D δ x ,   y   d A

m = ∫ 0 2 ∫ x / 2 - x + 3 ( x + y ) d y d x

Integrando em relação y , vamos ter:

m = ∫ 0 2 x y + y 2 2 x / 2 - x + 3   d x

Aplicando os limites de integração em y :

m = ∫ 0 2 x - x + 3 + - x + 3 2 2 - x x 2 - x / 2 2 2 d x

m = ∫ 0 2 - 9 8 x 2 + 9 2 d x

Agora integrando em relação a x :

m = - 3 8 x 3 + 9 2 x 0 2

E aplicando os limites de integração em x , encontramos nossa massa:

m = - 3 8 2 3 + 9 2 2 + 3 8 0 - 9 2 ( 0 )

m = - 3 + 9 = 6

Passo 4

Agora vamos encontrar as coordenadas do centro de massa usando as integrais do passo 1 . Nossa primeira coordenadas é dada por:

x ¯ = 1 m ∬ D x δ x ,   y   d A

Substituindo m = 6 , que encontramos no passo anterior, e os intervalos de integração da região D , temos:

x ¯ = 1 6 ∫ 0 2 ∫ x / 2 - x + 3 x ( x + y ) d y d x

x ¯ = 1 6 ∫ 0 2 ∫ x / 2 - x + 3 x 2 + x y d y d x

Assim, integrando em relação a y :

x ¯ = 1 6 ∫ 0 2 x 2 y + x y 2 2 x / 2 - x + 3 d x

E aplicando os intervalos de integração em x :

x ¯ = 1 6 ∫ 0 2 x 2 - x + 3 + x - x + 3 2 2 - x 2 x 2 + x ( x / 2 ) 2 2   d x

x ¯ = 1 6 ∫ 0 2 - 9 8 x 3 + 9 2 x   d x

Agora integrando em relação a x :

x ¯ = 1 6 - 9 8 x 4 4 + 9 2 x 2 2 0 2

x ¯ = 1 6 - 144 32 + 36 4 = 1 6 9 2 = 3 4

Passo 5

Agora calculando a segunda coordenada, vamos usar a equação:

y ¯ = 1 m ∬ D y δ x ,   y   d A

Substituindo os dados da densidade, da massa e da região D :

y ¯ = 1 6 ∫ 0 2 ∫ x / 2 - x + 3 y ( x + y ) d y d x

y ¯ = 1 6 ∫ 0 2 ∫ x / 2 - x + 3 x y + y 2 d y d x

Assim, integrando em relação a y e aplicando os intervalos:

y ¯ = 1 6 ∫ 0 2 x y 2 2 + y 3 3 x / 2 - x + 3   d x = 1 6 ∫ 0 2   x - x + 3 2 2 + ( - x + 3 ) 3 3 - x ( x / 2 ) 2 2 - ( x / 2 ) 3 3 d x

= 1 6 ∫ 0 2 9 - 9 2 x   d x

E integrando em relação a x :

y ¯ = 1 6 9 x - 9 4 x 2 0 2 = 1 6 9 2 - 9 4 4 - 9 0 + 9 4 0

y ¯ = 1 6 18 - 9 = 3 2

Então, nosso centro de massa tem coordenas 3 4 , 3 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

m = 6

3 4 , 3 2

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é uma região triangular com vértices 0 ,0 ,2 ,1 ,0 ,3 ; ρ x ,y = x + y
(a) Verifique que f x ,y = 4 x y , s e0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 0 , c a s oc o n t r á r i o á é uma função densidade conjunta.(b) Se X e Y são variáveis aleatórias cuja função densidade conjunta é f da par
Use a Regra do Ponto Médio para as integrais duplas com m = n = 2 para estimar a área da superfície z = x ⋅ y + x 2 + y 2 , 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 Use um sistema de computação algébrica para aproximar
Determine a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando a área em termos de integral de função de uma variável real e use sua calculadora para estimar o valor da integral.A p
A figura mostra a superfície criada quando o cilindro y 2 + z 2 = 1 intercepta o cilindro x 2 + z 2 = 1 . Determine área dessa superfície