Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

Ver Teoria

Enunciado

Encontre a massa e o centroide das lâminas abaixo:

c) A lâmina delimitada pelo eixo x , e a curva y = 1 - x 2 e de densidade δ = 4

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Nessa questão, temos uma curva representada pela função:

y = 1 - x 2

A região abaixo dessa curva, e acima do eixo x é justamente o que o enunciado chama de lâmina, que tem densidade δ = 4 .

Dada a função:

Desenhando no gráfico (lembrando que a curva y é uma parábola virada para baixo), nossa lâmina é essa região em preto 😊

O nosso objetivo é calcular a massa e o centroide dessa lâmina!

Mas, você tá lembrado como calculamos o centroide de uma região?

Essa é a área.

A parte mais importante é sabermos usar a função recebida para montarmos gráfico, por quê?

Sabemos que a densidade é a massa dividido pela área, ou seja:

δ = m A

De forma que:

m = ∫ δ   d A

E ainda o centroide:

x _ = ∫ x   d A A

y _ = ∫ y   d A A

x - = ∫ x d A A  

Para y a função deve ser inversa

Veja como que a Area é bastante importante. Bom a área é dada por:

A = ∫ a b f x d x

Onde f ( x ) é a função dada. Viu como a área é importante?! Bom ... Vamos lá?

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Façamos antes a área:

A = ∫ d A = ∫ a b f x d x = ∫ a b 1 - x 2 d x

O que são os limites a e b? Vamos ver?!

São os limites onde a integração de x existe. Bom, podemos achar isso vendo quando que o x cruza o eixo x, ou seja y=0

0 = 1 - x 2 → x = ± 1  

Pegando somete a parte positiva + 1 :

A = ∫ 0 1 1 - x 2 d x = x - x 3 3 0 1 = 2 3

Sabendo que d A = f x d x = 1 - x 2 d x

Passo 3

A massa é então:

m = ∫ 0 1 δ   d A = ∫ 0 1 4   1 - x 2 d x = 4 x - x 3 3 0 1 = 4 2 3 = 8 3

∴ m = 8 3

Para as coordenadas do centroide:

Para a coordenada x do centroide:

x _ = ∫ x   1 - x 2 d x 2 3 = ∫ 0 1 x - x 3 d x 2 3 = 3 2 x 2 2 - x 3 4 0 1 = 3 2 ⋅ 1 4 = 3 8

x _ = 3 8

Para a coordenada y:

ANTES, devemos achar a função g y , assim:

y = 1 - x 2 → x = 1 - y

y _ = ∫ 0 1 y   1 - y   d y 2 3

Façamos 1 - y = u de forma que d u d y = 1 → d y = d u . E quando fazemos uma substituição, qualquer que seja, devemos também levar o limite, assim:

y = 1 → 1 - 1 = u = 0

y = 0 → 1 - 0 = u = 1

y _ = ∫ 1 0 - 1 - u u     d y 2 3 = - ∫ 0 1 - 1 + u u     d u 2 3

Podemos melhorar esse monstrinho, né?!

1 - u u = - u 3 2 + u

y _ = ∫ 0 1 - u 3 2 + u d u 2 3

y _ = 3 2 - 2 5 + 2 3

= 3 2 4 15 = 2 5

Assim o centroide é:

C _ = 3 8 , 2 5

E o centroide fica posicionado dessa forma na imagem da função:

Resposta

A massa:

m = 8 3

E o centroide:

C _ = 3 8 , 2 5

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é uma região triangular com vértices 0 ,0 ,2 ,1 ,0 ,3 ; ρ x ,y = x + y
(a) Verifique que f x ,y = 4 x y , s e0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 0 , c a s oc o n t r á r i o á é uma função densidade conjunta.(b) Se X e Y são variáveis aleatórias cuja função densidade conjunta é f da par
Use a Regra do Ponto Médio para as integrais duplas com m = n = 2 para estimar a área da superfície z = x ⋅ y + x 2 + y 2 , 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 Use um sistema de computação algébrica para aproximar
Determine a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando a área em termos de integral de função de uma variável real e use sua calculadora para estimar o valor da integral.A p
A figura mostra a superfície criada quando o cilindro y 2 + z 2 = 1 intercepta o cilindro x 2 + z 2 = 1 . Determine área dessa superfície