Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

(Cap 7 – Ex 25) A força F x é associada à função energia potencial U = C / x , onde C é uma constante positiva.

(a) Determine a força F x como função de x .

(b) Essa força está apontando para a origem ou para longe dela, na região x > 0 ? Repita a pergunta para a região   x < 0 .

(c) A energia potencial U aumenta ou diminui quando x cresce na região   x > 0 ?

(d) Responda às Partes (b) e (c) com a constante   C negativa.

Passo 1

a) Olá, querido? Cê tá bem? Então, ele deu a função da energia potencial:

U = C x

E pede a força F x em função de x . Ou seja, ele quer a função força F x .

Para achar uma função força a partir de uma função potencial a gente pode usar a relação:

F x = - d U d x

Sendo que U = C / x   . Substituindo:

F x = - d d x C x

Então basicamente a gente precisa derivar U e mudar o sinal para achar F x . Vamos calcular essa derivada:

F x = - d d x C x - 1

Usando a regrinha de derivar polinômios:

F x = - ( - 1 ) C x - 1 - 1

F x = C x - 2

F x = C x 2

Passo 2

b) Cara, se uma partícula está numa posição x positiva e a força sobre ela aponta para a origem, quer dizer que a força aponta para esquerda, ou seja, que a força tem valor negativo:

E se ela aponta para longe da origem, ela é positiva. Então o que a gente precisa ver é se x > 0 , a força é positiva ou negativa. Nossa expressão da força é:

F x = C x 2

x 2 é sempre um valor positivo, independente de x . Como a constante C é sempre positiva, então F x é sempre positiva independentemente de x .

Logo, em x > 0 , a força aponta para longe da origem.

Agora se a partícula estiver em x < 0 , e a força for positiva, ela aponta para a origem:

Então como a nossa força é sempre positiva, quando a partícula estiver em x < 0 , ela vai apontar para a origem.

Passo 3

c) Para responder a esse item, basta dar uma olhada na estrutura da fórmula que descreve a energia potencial:

U = C x

Os termos U e x são inversamente proporcionais e como C > 0 , logo pode-se afirmar com exatidão, que U diminui com o crescimento de x na região positiva.

Já que se x , que é o denominador, fica sendo um valor cada vez maior e sempre positivo, U fica cada vez menor.

Passo 4

d) Esse item é justamente o inverso das letras b e c. Ou seja, se a constante C for negativa, a força F x será sempre negativa e apontada no sentido negativo do eixo x (para a esquerda), independentemente se a partícula estiver em x < 0 ou x > 0 .

Logo na região x < 0 , a força está direcionada para longe da origem e na região x > 0 , ela está direcionada para perto da origem.

Em relação à energia potencial na região x > 0 , uma vez que a constante C agora é negativa, podemos dizer que U irá aumentar com o crescimento de x   na região positiva.

U = C x

Porque se x > 0 , e C < 0 , U é um valor negativo. E assim, se x aumenta, U fica sendo um valor em módulo menor. Mas como ele é negativo, ele se torna um valor maior ao diminuir em módulo.

Assim como - 1 é um valor maior que - 2 . 1 é menor em módulo que 2 , mas como eles são negativos, o valor com módulo menor será maior.

Resposta

a) F x = C x ²

b) Na região x > 0 , a força está apontando para longe da origem e na região x < 0 , a força está apontando para perto da origem.

c) U diminui com o crescimento de x na região x > 0 .

d) Na região x < 0 , a força está apontando para longe da origem e na região x > 0 , a força está apontando para perto da origem.   U aumenta com o crescimento de x na região x > 0 .

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