Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

Uma corrente é mantida sobre uma mesa sem atrito com um quarto do comprimento pendurado fora da mesa. Se a corrente tem um comprimento L = 28   c m e massa m = 0,012   k g , qual é o trabalho necessário para puxar a parte pendura de volta para cima da mesa?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Vamos fazer um esquema do que foi descrito! Temos uma corrente com 28   c m = 28 × 1 0 - 2   m de comprimento sobre uma mesa, mas um quarto de seu comprimento está pendurada para fora da extremidade, da seguinte maneira

Queremos puxar o restante da corrente que está para fora de volta para cima da mesa, portanto, devemos puxar um corpo de massa m = 0,012   k g por uma distância L / 4 sobre a mesa, da seguinte maneira

E, por fim, calcular o trabalho necessário para realizar este processo! Como faremos isso? Uma maneira simples é considerar a forma como a energia potencial da parte da corrente que está fora da mesa varia, enquanto puxamos ela mesa acima! No entanto, essa parte da corrente não tem a massa total da corrente, e sim apenas uma fração de sua massa! Vamos partir daqui e construir um método para calcular nosso Δ U .

Passo 2

Primeiro, como a nossa massa se distribui ao longo da corrente? Se ela for distribuída uniformemente, temos que

d m d y = m / L

y uma variável que percorre o corpo da corrente, portanto, temos que d m = m L d y . Ou seja, para cada segmento, temos uma energia potencial da forma

d U = - d m   g   y

em que y indica a altura do segmento a partir do topo da mesa, por isso o sinal negativo, já que escolhi o topo da mesa como y = 0 . Usando o d m que construímos, temos

d U = - m g L y   d y

Se integrarmos ao longo de toda a corrente que está fora da mesa, temos que a energia potencial relaciona será dada por

U = - m g L ∫ - L / 4 0 y d y = - m g L [ y 2 2 ] | - L / 4 0

Avaliando os limites, temos que

U = - m g 2 L [ 0 2 - L 2 16 ] = m g L 32

Agora, se essa é a energia potencial que a parte da corrente pendurada carrega. Qual será o trabalho necessário para levar este pedaço para cima da mesa? Consegue adivinhar?

Passo 3

Certo! Temos que se queremos que toda essa corrente seja levada para o potencial zero, precisaremos de uma variação do potencial igual a

Δ U = - m g L 32

Mas, como não temos forças dissipativas atuando, o trabalho pode ser obtido como

W = - Δ U = m g L 32

Substituindo valores, temos que

W = ( 0,012 k g ) ( 9,8   m / s 2 ) ( 28 × 1 0 - 2 m ) 32 = 1,0 × 1 0 - 3   J

A questão foi isso! Até a próxima! Tchauzinho!

Resposta

W = 1,0 × 1 0 - 3   J

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