Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

Uma partícula está submetida a uma força dada pela energia potencial U x ,   y = 3 x 2 y - 7 x .

a) Qual é a força F → ( x ,   y ) a que ela está sujeita?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma função potencial U x ,   y = 3 x 2 y - 7 x e quer que encontremos uma função para a força F → ( x ,   y ) a que a partícula está sujeita.

Para isso, vamos usar um teorema da dinâmica, que nos diz que dada a energia potencial de uma partícula U ( x ,   y ) , a força conservativa associada será dada por:

F → ( x ,   y ) = - ∇ → U ( x ,   y )

Onde ∇ → representa o gradiente da função potencial, ele é um operador vetorial que pode ser definido por:

∇ → U = ∂ U ∂ x i → + ∂ U ∂ y j →

Então, o que nós temos que fazer é calcular as derivadas parciais da função U ( x ,   y ) em relação a x e a y . Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar considerando y constante e calculando a derivada parcial de U x ,   y = 3 x 2 y - 7 x   em relação a x :

∂ U ∂ x = ∂ ∂ x 3 x 2 y - 7 x = 6 x y - 7

Agora, considerando x constante, calculamos a derivadas de U ( x ,   y ) em relação a y :

∂ U ∂ y = ∂ ∂ y 3 x 2 y - 7 x = 3 x 2

Prontinho, agora basta colocar na fórmula do gradiente:

∇ → U = ∂ U ∂ x i → + ∂ U ∂ y j →

∇ → U = ( 6 x y - 7 ) i → + ( 3 x 2 ) j →

Mas a força F → ( x ,   y ) é o negativo do gradiente de U ( x ,   y ) . Então, temos:

F → ( x ,   y ) = - ∇ → U ( x ,   y )

F → x ,   y = 7 - 6 x y i → - 3 x 2 j →

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

F → x ,   y = 7 - 6 x y i → - 3 x 2 j →

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