Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

Durante uma avalanche, uma pedra de 520   k g desliza a partir do repouso, descendo a encosta de uma montanha que tem 500   m de comprimento e 300   m de altura. O coeficiente de atrito cinético entre a pedra e a encosta é 0,25 . ( a ) Se a energia potencial gravitacional U do sistema rocha-Terra é nula na base da montanha, qual é o valor de U imediatamente antes de começar a avalanche? ( b ) Qual é a energia transformada em energia térmica durante a avalanche? ( c ) Qual é a energia cinética da pedra ao chegar à base da montanha? ( d ) Qual é a velocidade da pedra nesse instante?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Vamos esquecer tudo isso de avalanche, o que temos aqui é um plano inclinado, e uma partícula que desce pelo plano inclinado. O plano tem um comprimento de 500   m e uma altura de 300   m . A partícula tem uma massa de 320   k g e durante sua descida devemos considerar um coeficiente de atrito com o plano de 0,25 . Assim fica menos confuso não é?

Na alternativa a ) o enunciado nos indica que a base do plano inclinado tem energia potencial nula, isso é uma escolha de referencial que coloca h = 0 na base, e pede para calcularmos a energia potencial no topo do plano inclinado, ou seja, antes da descida da partícula! Para isso, vamos usar a relação usual

U i = m g h

Agora, a pedra começa a descer pelo plano inclinado, como temos atrito parte da energia potencial inicial é transformada em energia cinética e parte se perde como energia térmica. O que precisamos, é analisar qual a quantidade de energia relacionada a cada um. Para isso, é interessante lembrar que a energia térmica liberada é equivalente ao trabalho realizado pela força de atrito, ou seja

Δ E T = | W f a t |

Por último, vamos utilizar o restante da energia que não foi liberada para obter a energia cinética e a velocidade com que a pedra chega a base do plano inclinado! Espero que tenha ficado um pouco mais claro! Agora, vem comigo!

Passo 2

Temos o seguinte plano inclinado

Inicialmente, temos que a pedra está em uma altura h = 300   m , portanto, a energia potencial antes da descida, é dada por

U i = m g h = ( 520 k g ) ( 9,8 m / s 2 ) ( 300   m )

calculando o valor, nos resulta em

U i = 1,53 × 1 0 6   J

A alternativa a ) já foi! Agora precisamos ver quanto desta energia é liberada como energia térmica e o quanto se torna energia cinética! Vem comigo!

Passo 3

Como discutimos no passo 1, temos que a energia liberada termicamente é equivalente a quantidade de trabalho realizado pela força de atrito, ou seja, temos que

Δ E T = | W f a t |

Temos que o trabalho realizado pela força de atrito é dado por

W f a t = - f a t L

em que f a t é o módulo da força de atrito, L = 500   m o comprimento da encosta, e o sinal negativo se dá pois o atrito é sempre contrário ao movimento. Você consegue se lembrar da fórmula para calcular a força de atrito cinético? Ela é da seguinte forma

f a t = μ c N

em que N é o módulo da força normal, e μ c = 0,25 , como posto no enunciado. Ou seja, precisamos do módulo da força normal! Como vamos achar isso? Saca só o seguinte esquema

Consegue utilizar este esquema para calcular a força de atrito? Se não, vem cá que a gente dá um jeito!

Passo 4

Como temos que o atrito depende apenas do módulo da força normal, vamos nos preocupar apenas com as forças perpendiculares ao plano. Como não há movimento perpendicular, podemos dizer que

P y = N

em que P y   é o módulo da componente perpendicular da força peso. Olhando o esquema acima, podemos ver que este componente pode ser obtido fazendo

P y = P c o s ( θ )

em que P = m g , o módulo do peso da pedra, e podemos obter o ângulo θ , lembrando que

s e n ( θ ) = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a = 300 500

Ou seja, temos que

θ = a r c s e n ( 3 / 5 ) = 36,7 °

De forma que podemos calcular c o s ( 36,7 ° ) = 0,8 . E a nossa força normal pode ser obtida como

N = P y = m g c o s ( θ )

ou seja

N = ( 520   k g ) ( 9,8   m / s 2 ) ( 0,8 ) = 4,08 × 1 0 3   N

e, finalmente, a força de atrito será

f a t = μ c N = ( 0,25 ) ( 4,08 × 1 0 3   N )

Resultando em f a t = 1,02 × 1 0 3   N , que pode ser utilizado para obter o trabalho realizado como

W = - f a t L = - ( 1,02 × 1 0 3 ) ( 500   m )

Ou seja, temos que

Δ E T = | W f a t | = 5,1 × 1 0 5   J

Maravilha! A nossa segunda alternativa foi! Vamos agora ver quanta energia restou para se transformar em energia cinética! Vem comigo!

Passo 5

Se inicialmente tínhamos uma energia igual a U = 1,53   × 1 0 6   J , após a descida o atrito faz com que Δ E T = 5,1 × 1 0 5   J seja liberada como calor, a energia cinética restante será

K = U - Δ E T = 1,02 × 1 0 6   J

E como temos que

K = 1 2 m v 2

Podemos isolar a nossa velocidade para obter

v = 2 m K = 2 ( 520 k g ) ( 1,02 × 1 0 6   J )

Ou seja, nossa velocidade é tal que

v = 62,6   m / s

A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( a )   U i = 1,53 × 1 0 6   J     ( b )   Δ E T = 5,1 × 1 0 5   J   ( c )   K = 1,02 × 1 0 6   J   ( d )   62,6   m / s

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