Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

7. Uma partícula move-se ao longo do eixo x sob a ação de uma única força F → = F ( x ) i ^ , conservativa, que dá origem à energia potencial

U x = 2 x 4 - x 2 + 0,5

onde x é medido em metros e U é medido em Joules. Se a partícula parte da posição x   =   0   m e movimenta-se na direção de x crescente com energia mecânica total   E   =   0,6   J , a coordenada do ponto de retorno, medida em metros, é:

Passo 1

E aí meus caros! Aqui, vamos nós resolver mais um probleminha dessa maravilhosa prova de Física.

E dessa vez, o que temos aqui é um problema sobre energia, mais especificamente, relacionado energia mecânica com energia potencial através dos aclamados pontos de retorno.

Mas calma que o produtor aqui, vai explicar direitinho sobre o que são esses pontos de retorno!

Pontos de retorno são pontos onde a energia cinética é igual a zero. São pontos onde a partícula ou corpo acaba mudando de sentido!

Agora, bora pensar aqui um pouquinho! Se a energia mecânica total E é dada pela soma da energia cinética K com a energia potencial U ...

E = K + U

E se nos pontos de retorno, a energia cinética K é nula, então só pode significar uma coisa!

É isso mesmo que cê tá pensando! Pra obter os pontos de retorno, precisamos igualar a energia E que nos foi fornecida com a energia potencial.

Passo 2

Bora pros cálculos! Para uma dada energia mecânica total E, os pontos de retorno são obtidos quando:

U x = E

O que resulta na seguinte equação abaixo:

2 x 4 - x 2 + 0,5 = 0,6

2 x 4 - 2 x 2 - 0,1 = 0

Temos uma equação do quarto grau pra resolver. Nesse tipo de equação, é preciso fazer uma substituição, pra tornar mais fácil a resolução. Basta fazer a seguinte mudança de variável:

y = x 2

E alterar ela na equação de quarto grau:

2 x 4 - 2 x 2 - 0,1 = 0

2 y 2 - 2 y - 0,1 = 0

Resolvendo a equação no formato a y 2 + b y + c :

y = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

y = 2 ± ( - 2 ) 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ ( - 0,1 ) 2 ⋅ 2

y = 0,5 ± 0,547

y = 1,0477   o u   y = - 0,0477

Desse dois valores, devido à substituição que fizemos, só o positivo nos interessa! E uma vez que descobrimos y , o valor de x será igual à:

x 2 = y

x = y

x = 1,0477   m

x = 1,02   m

Pronto! Resposta encontrada!

Bora pra próxima!

Resposta

x = 1,02   m

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