Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

Uma partícula de massa m = 1   k g se move ao longo da direção x sob o efeito da força F x =   3 x 2 - 12 x + 9   ( N ) .

c) Considere o caso em que a partícula parte da origem com velocidade nula. Discuta o movimento da partícula nesta situação. Qual será a velocidade máxima e em que ponto isso ocorrerá?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma partícula de massa m = 1   k g , que se move na direção x por meio da força F x =   3 x 2 - 12 x + 9   ( N ) . A partir disso, nós conseguimos plotar o gráfico da energia potencial no item (b):

E a partir desse gráfico, nós vamos conseguir analisar o movimento da partícula, que parte da origem com velocidade nula, e descobrir o valor e o ponto de sua velocidade máxima, através do balanço de energia.

Vamos lá!

Passo 2

Derivando U x = - x 3 + 6 x 2 - 9 x + 4 e igualando o resultado a zero, nós encontramos os pontos críticos da função em x = 1 e x = 3   m . Nós vimos no item anterior, que x = 1   m é um ponto de mínimo da função, caracterizado por um equilíbrio estável. E vimos também que o ponto x = 3   m é um ponto de máximo da função, que é caracterizado por um equilíbrio instável.

Além disso, a energia mecânica E m e c tem um valor constante dado por:

E m e c = U x + K ( x )

Ondea energia potencial U ( x ) e a energia cinética K ( x ) são funções da posição x da partícula. Então, quando a energia potencial U ( x ) atinge um valor mínimo, de forma a equilibrar a energia do sistema (que é constante), a energia cinética K ( x ) vai ter um valor máximo. Como a energia cinética é dada por:

K = 1 2 m v 2

Onde m é a massa da partícula e v sua velocidade; dizemos que a velocidade da partícula também é máxima nessa condição. Para o nosso caso, temos um ponto de energia potencial mínima em x = 1   m , certo? Então, é justamente nesse ponto que em que a partícula apresenta velocidade máxima. Pra determinar essa velocidade máxima, a gente precisa conhecer o valor da energia mecância total do sistema.

Passo 3

Assim, como a energia cinética é máxima quando a energia potencial é mínima, o contrário também acontece. Isso quer dizer que nos pontos de máximo de U ( x ) , teremos uma energia cinética K ( x ) mínima. Observe que U ( x ) tem um ponto de máximo em x = 3   m , então, nesse ponto teremos K x = 0 , o que implica em uma velocidade nula também.

Repare que para x = 3   m , U x = 4   J . Como a energia mecânica é constante, e K = 0 , temos E m e c = 4   J . Como esse valor não se altera, no ponto x = 1   m , teremos:

E m e c = U + K

4   J = 0 + K → K = 4   J

Isso significa que no ponto onde a velocidade é máxima, teremos:

K = 1 2 m v 2

4   J = 1 2 1   k g v 2

→ v m á x = 2 2   m / s

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

O   m o v i m e n t o   s e   i n i c i a   e m   x = 0   e   a   p a r t í c u l a   p a r a   e m   x = 3   m ,  

a p r e s e n t a n d o   v m á x = 2 2   m / s   e m   x = 1   m  

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