Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

Uma partícula em um certo campo de força tem energia potencial dada por

U   ( x , y , z )   =   20   x y / z

Encontre a força sobre a partícula e prove que a força é conservativa.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa afirmação aqui

Uma partícula tem energia potencial dada por: U   ( x , y , z )   =   20   x y / z

E faz uma afirmação:

Prove que a força é conservativa

E agora, como achar a força e como provar o que se pede?

Quando temos uma função potencial associada a um campo de forças, isso significa que podemos escrever a força assim

F → = - ∇ → U

E mais! Podemos ainda afirmar que

∇ × F → = 0

Então a ideia é aplicar esse teorema aqui e mostrar que o rotacional é zero!

Beleza?

Bora lá!

Passo 2

A primeira coisa a fazer é calcular o gradiente do potencial para achar a força!

F → = - ∇ → U

em termos de vetores

F → = - ∂ U ∂ x , ∂ U ∂ y , ∂ U ∂ z

Aplicando no potencial U =   20   x y / z temos

F → = - 20 y z , 20 x z ,   - 20 x y z 2

Essa é nossa força!

Passo 3

Agora vamos provar que a força é conservativa: aplicando o rotacional nisso!

∇ → × F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z - 20 y z - 20 x z 20 x y z 2 =

Resolvendo o determinante

i ^ ∂ ∂ y 20 x y z 2 - ∂ ∂ z - 20 x z + j ^ ∂ ∂ z - 20 y z - ∂ ∂ x 20 x y z 2 + k ^ ∂ ∂ x - 20 x z - ∂ ∂ y - 20 y z

= i ^ 20 x z 2 - 20 x z 2 + j ^ 20 y z 2 - 20 y z 2 + k ^ 20 z 2 - 20 z 2 = 0

Perfeito! Mostramos que o campo de forças é conservativo!

E é isso! Até a próxima!

Resposta

F → = - 20 y z , 20 x z ,   - 20 x y z 2

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