Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

Uma partícula de massa m = 1   k g se move ao longo da direção x sob o efeito da força F x =   3 x 2 - 12 x + 9   ( N ) .

b) Faça um gráfico de U ( x ) em função de x para o intervalo de posições - 0,5 ≤ x ≤ 4,5   m . Determine as posições de equilíbrio e discuta suas estabilidades.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma partícula de massa m = 1   k g , que se move na direção x por meio da força F x =   3 x 2 - 12 x + 9   ( N ) . A partir disso, nós precisamos plotar o gráfico de U ( x ) e determinar suas posições de equilíbrio.

No item (a), nós calculamos a integral ∫ F ( x ) d x = - U ( x ) , usando a a condição inicial U 1 = 0   J , e encontramos a função da energia potencial U x = - x 3 + 6 x 2 - 9 x + 4 .

Então, vamos plotar U ( x ) no intervalo - 0,5 ≤ x ≤ 4,5   m . Para determinar as posições de equilíbrio, precisamos lembrar que elas acontecem quando F x = 0 , ou seja, quando d U d x = 0 . Além disso, existem três tipos de equilíbrio: o equilíbrio estável (quando o objeto que está em equilíbrio, se move, mas logo em seguida ele volta a posição de equilíbrio), o equilíbrio instável (quando o objeto em equilíbrio, se move e sai do equilíbrio) e o equilíbrio indiferente (quando ele independe das forças e continua sempre em equilíbrio).

Os pontos de equilíbrio acontecem nos pontos críticos da função U ( x ) , onde os pontos de mínimo representam os pontos de equilíbrio estável e os pontos de máximo, seu equilíbrio. Instável. Vamos analisar cada caso.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar plotando a função U x = - x 3 + 6 x 2 - 9 x + 4 , com x variando no intervalo [ - 0,5 ,   4,5 ] :

Usando a função F x =   3 x 2 - 12 x + 9   ( N ) , que representa a derivada de U ( x ) , ou apenas observando o gráfico da figura, temos:

3 x 2 - 12 x + 9 = 0

x = 1         o u         x = 3

Por fim, repare que quando x = 1 , temos um ponto de mínimo na função, então isso caracteriza um ponto de equilíbrio estável. Observe também que em x = 3 , temos um ponto de máximo, que caracteriza um equilíbrio instável.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

G r á f i c o   U x × x

e q u i l í b r i o   e s t á v e l : x = 1   m

e q u i l í b r i o   i n s t á v e l : x = 3   m

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