Exercícios Resolvidos de Introdução à Funções Vetoriais

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Enunciado

Calcule:

a)

∫ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y γ

Onde γ : 0,1 → R 2 é uma curva de classe C 1 por partes, com imagem contida no semiplano y > 0 tal que γ 0 = 1,1 e γ 1 = - 2,3 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral de linha:

∫ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y γ

Onde γ : 0,1 → R 2 é uma curva de classe C 1 por partes, com imagem contida no semiplano y > 0 tal que γ 0 = 1,1 e γ 1 = - 2,3 .

Para isso, se conseguirmos provar que nossa função F admite uma função potencial dessa forma:

F = ∇ ϕ

Então a nossa integral de linha tem a seguinte forma:

∫ A B F * d r = ∫ A B ∇ ϕ * d r = ϕ B - ϕ A

Assim, vale lembrar que quando F admite uma energia potencial, então significa dizer que F é independente de caminho.

Logo, podemos aplicar a energia potencial final menos a inicial.

E um dos métodos para provar a independência do caminho é fazendo:

∇ × F = 0

Bom... Para a forma ser exata, temos uma condição necessária para ser satisfeita:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Assim, aplicando o rotacional, temos que satisfazer a seguinte condição:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x ∴

d d y - y x 2 + y 2 = d d x x x 2 + y 2 ∴

- x 2 + y 2 - 2 y - y x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 - 2 x x x 2 + y 2 2 ∴

- x 2 - y 2 + 2 y 2 x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 2 ∴

y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Como a condição foi satisfeita, então nossa função admite função potencial!!

Passo 3

Bom... Nossa função F x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , quando dizemos que:

F = ∇ ϕ

Implica que

F x , y = d d x ϕ , d d y ϕ

Assim, vamos descobrir ϕ :

d d x ϕ = - y x 2 + y 2 ∴

ϕ = - arctan ⁡ x y + Γ y

Também temos:

d d y ϕ = x x 2 + y 2 ∴

ϕ = - arctan ⁡ x y

Como as duas funções são iguais, então achamos nossa função potencial!!

Passo 4

Do Passo1, temos que:

∫ A B F * d r = ∫ A B ∇ ϕ * d r = ϕ B - ϕ A

Aplicando os pontos em ϕ , do enunciado temos:

γ 0 = 1,1

γ 1 = - 2,3

Logo, temos:

ϕ B - ϕ A = ϕ - 2,3 - ϕ 1,1 ∴

ϕ B - ϕ A = - arctan ⁡ - 2 3 + arctan ⁡ 1 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y γ = - arctan ⁡ - 2 3 + arctan ⁡ 1

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