Exercícios Resolvidos de Introdução à Funções Vetoriais

Ver Teoria

Enunciado

Calcule:

b)

∫ - 1,0 1,0 x x 2 + y 2 d x + y x 2 + y 2 d y

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral de linha:

∫ - 1,0 1,0 x x 2 + y 2 d x + y x 2 + y 2 d y

Para isso, se conseguirmos provar que nossa função F admite uma função potencial dessa forma:

F = ∇ ϕ

Então a nossa integral de linha tem a seguinte forma:

∫ A B F * d r = ∫ A B ∇ ϕ * d r = ϕ B - ϕ A

Assim, vale lembrar que quando F admite uma energia potencial, então significa dizer que F é independente de caminho.

Logo, podemos aplicar a energia potencial final menos a inicial.

E um dos métodos para provar a independência do caminho é fazendo:

∇ × F = 0

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Nossa função F x , y = x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 , quando dizemos que:

F = ∇ ϕ

Implica que

F x , y = d d x ϕ , d d y ϕ

Assim, vamos descobrir ϕ :

d d x ϕ = x x 2 + y 2 ∴

ϕ = 1 2 ln ⁡ x 2 + y 2 + Γ y

Também temos:

d d y ϕ = y x 2 + y 2 ∴

ϕ = 1 2 ln ⁡ x 2 + y 2

Como as duas funções são iguais, então achamos nossa função potencial!!

Passo 3

Do Passo1, temos que:

∫ A B F * d r = ∫ A B ∇ ϕ * d r = ϕ B - ϕ A

Aplicando os pontos em ϕ , do enunciado temos:

∫ - 1,0 1,0 x x 2 + y 2 d x + y x 2 + y 2 d y

Logo, temos:

ϕ B - ϕ A = ϕ 1,0 - ϕ - 1,0 ∴

ϕ B - ϕ A = 1 2 ln ⁡ 1 - 1 2 ln ⁡ 1 ∴

ϕ B - ϕ A = 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ - 1,0 1,0 x x 2 + y 2 d x + y x 2 + y 2 d y = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o domínio das funções vetoriais.r (t) = 〈sqrt(4 - t ²) , e^(- 3 t) , ln ( t + 1 )〉 ²
Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t. r t =t e - t , 2 a r c t gt , 2 r t ,t = 0
Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração. r t = e t i + 2 t j + e - t k
Sejam vec f (t) = vec a t + vec b t^2 e vec g (t) = t vec i + s e n t vec j + cos t vec k , com vec a = vec i + vec j e vec b = 2 vec i - vec j ; 0 = t = 2 pi . Calcular:(d) vec a * vec f (t) + vec b
A função posição de uma nave espacial é r t = 3 + ti + 2 + ln ⁡ tj + 7 - 4 t 2 + 1 k e as coordenadas de uma estação espacial são 6 ,4 ,9 . O capitão quer que a nave ataque na estação espacial. Quando