Exercícios Resolvidos de Introdução à Funções Vetoriais

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Enunciado

Verifique se a forma diferencial é exata. Justifique:

b) e x 2 + y 2 ∙ x d x + y d y

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para verificar se a seguinte forma diferencial é exata:

e x 2 + y 2 ∙ x d x + y d y

Para a forma ser exata, temos uma condição necessária para ser satisfeita:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Obs: P é o termo que acompanha d x e Q é o termo que acompanha d y .

Depois basta integrarmos cada termo em relação a variável correspondente a fim de encontrarmos a função primitiva!!

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Então... analisando os termos da expressão, temos:

P = x e x 2 + y 2

Q = y e x 2 + y 2

Assim, analisando a condição:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x ∴

2 x y e x 2 + y 2 = 2 x y e x 2 + y 2

Como a condição foi satisfeita, então agora podemos encontrar a primitiva.

Passo 3

Bom... Integrando cada termo em relação a variável correspondente, temos:

ϕ x , y = ∫ x e x 2 + y 2 d x = e x 2 + y 2 2 + A y

ϕ x , y = ∫ y e x 2 + y 2 d y = e x 2 + y 2 2 + B x

Obs: trata-se do mesmo procedimento do campo conservativo.

Dessa forma, uma função que se encaixa nessas igualdades é:

ϕ x , y = e x 2 + y 2 2

Assim, como a função do enunciado admite primitiva, então ela é exata!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Exata

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