Exercícios Resolvidos de Introdução à Funções Vetoriais

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Enunciado

Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f

  1. F x , y , z = e y z i + x z e y z j + x y e y z k

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para determinarmos se o campo vetorial é conservativo, vamos ter que encontrar:

F = ∇ f

F = F 1 , F 2 , F 3 = d f d x , d f d y , d f d z

Com isso vamos poder calcular.

Passo 2

Vamos começar determinando cada componente:

F = F 1 , F 2 , F 3 = d f d x , d f d y , d f d z

F x , y , z = e y z i + x z e y z j + x y e y z k

Igualando as componentes:

d f d x = e y z

d f d y = x z e y z

d f d z = x y e y z

E para resolver, vamos integrar cada uma:

f = ∫ e y z d x = x e y z + A ( y , z )

f = ∫ x z e y z d y = x e y z + B ( x , z )

f = ∫ x y e y z d z = x e y z + C ( x , y )

Show, reparem que em todas as f nós temos 1 termo em comum, então ele faz parte da nossa função. Como não temos mais nenhum, vamos considerar uma constante K:

f x , y , z = x e y z + K

Com isso, podemos determinar que o nosso campo é conservativo

Resposta

f x , y , z = x e y z + K

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