Exercícios Resolvidos de Introdução à Funções Vetoriais

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Enunciado

(Capítulo 13.1 – Exercício 1) Determine o domínio das funções vetoriais.

r t = 4 - t ² ,   e - 3 t , ln ⁡ ( t + 1 )

Passo 1

Oii gente! Tudo certinho?

Ó, vamos juntos resolver esse exercício. Queremos encontrar o domínio da função vetorial r ( t )

Vai ser algo bem parecido com o que fazíamos em funções de uma variável: temos que encontrar os valores de t que não dão nenhum tipo de problema na nossa função

Esses problemas podem ser:

- Raíz quadrada negativa

- Denominador igual a zero

- Logaritmando menor ou igual a 0

Mas aí no caso das funções vetoriais, vamos fazer isso para cada componente de r ( t ) , fechou?

Vamos lá

Passo 2

Temos

r t = 4 - t ² ,   e - 3 t , ln ⁡ ( t + 1 )

Para a componente x , que é a primeira coordenada, t está dentro de uma raíz, logo ele nunca poderá assumir valores que tornem a raíz negativa, portanto:

4 - t 2 ≥ 0

t 2 ≤ 4

Então, o domínio para a primeira coordenada é

- 2 ≤ t ≤ 2

Passo 3

r t = 4 - t ² ,   e - 3 t , ln ⁡ ( t + 1 )

Para a componente y , temos a exponencial 1 e 3 t , mas independente do valor de t o denominador nunca será zero, logo, t pode assumir qualquer valor real.

Por fim, para a componente z , t está dentro do logaritmo

Como o logaritmando sempre deve ser maior que 0, temos

t + 1 > 0

t > - 1

Passo 4

Show, agora vamos juntar tudo.

Para a primeira coordenada encontramos

- 2 ≤ t ≤ 2

Para a segunda encontramos

- ∞ < t < ∞

E para a terceira, temos

t > - 1

Para encontramos o domínio geral da função vetorial, vamos fazer a intersecção desses 3 intervalos, que vai nos dar:

- 1 < t ≤ 2

Então, o domínio da função vetorial é

] - 1 ; 2 ]

Resposta

] - 1 ,   2 ]

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