Exercícios Resolvidos de Introdução à Funções Vetoriais

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Enunciado

Verifique se a forma diferencial é exata. Justifique:

c) F → x , y = - y x 2 + y 2 d x = x x 2 + y 2 d y ,   x , y ∈ B . Sendo B o conjunto x , y ∈ R 2 : y > 0 ∪ x , y ∈ R 2 : x < 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para verificar se a seguinte forma diferencial é exata:

F → x , y = - y x 2 + y 2 d x = x x 2 + y 2 d y ,   x , y ∈ B

Obs: B é o conjunto x , y ∈ R 2 : y > 0 ∪ x , y ∈ R 2 : x < 0 .

Bom... Para a forma ser exata, temos uma condição necessária para ser satisfeita:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Obs: P é o termo que acompanha d x e Q é o termo que acompanha d y .

Depois basta integrarmos cada termo em relação a variável correspondente a fim de encontrarmos a função primitiva!!

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Assim, analisando a condição, temos:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x ∴

- x 2 + y 2 - 2 y - y x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 - 2 x x x 2 + y 2 2 ∴

- x 2 - y 2 + 2 y 2 x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 2 ∴

y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Como a condição foi satisfeita, então agora podemos encontrar a primitiva.

Passo 3

Bom... Integrando cada termo em relação a variável correspondente, temos:

ϕ x , y = ∫ - y x 2 + y 2 d x = - arctan ⁡ x y + A y

ϕ x , y = ∫ x x 2 + y 2 d x = arctan ⁡ y x + B x

Obs: trata-se do mesmo procedimento do campo conservativo.

Dessa forma, a gente tem que π 2 - arctan ⁡ x y , y > 0 éuma primitiva no semiplano y > 0 .

Então, no quadrante x < 0 e y > 0 temos a primitiva arctan ⁡ y x e temos o caso de y = 0 também.

Assim, podemos definir a seguinte primitiva:

ϕ x , y = π 2 - arctan ⁡ x y ,   y > 0 π ,   y = 0 ,   x < 0 arctan ⁡ y x ,   x < 0

Assim, como a função do enunciado admite primitiva, então ela é exata!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Exata

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