Exercícios Resolvidos de Introdução à Funções Vetoriais

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Enunciado

Marque Verdadeiro (V) ou Falso (F) nas sentenças abaixo, justificando suas respostas:

( ) α ( t )   =   ( s i n   t ,   2 t   s i n   t ,   t ² ) , onde t ∈ R é uma curva parametrizada regular C ∞ .

( ) O vetor unitário normal à superfície de nível Φ ( x ,   y ,   z )   =   0 no ponto (1, 1, 2) do campo escalar Φ ( x ,   y ,   z )   =   x y z ² - 4 , é (4, 4, 4)

( ) l i m t → 0 e t - 1 t ,   1 + t - 1 t ,   1 t + 1 = ( 1,2 , 1 )

( ) Dom r =]1, 4[ , onde r ( t ) = t ² ,   t - 1 ,   16 - t ²

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para classificarmos as sentenças como falsa ou verdadeira. Então, vamos começar com a primeira sentença, que nos define uma curva parametrizada por um parâmetro t, tal que, para cada t, temos um ponto no espaço tridimensional com as coordenadas

( x ,   y ,   z ) = s i n   t ,   2 t   s i n   t ,   t ²

Como as funções s i n   t ,   2 t   s i n   t ,   t ² são funções contínuas e infinitamente diferenciáveis (isto é, possuem derivada de qualquer ordem), temos que α ( t ) é uma curva parametrizada regular C ∞ . Portanto, a afirmação é verdadeira.

A segunda sentença nos define um campo escalar dado por:

Φ ( x ,   y ,   z )   =   x y z ² - 4

Se nos restringindo aos pontos onde Φ ( x ,   y ,   z )   = 0 , temos uma superfície definida pela equação

0   =   x y z ² - 4

A gente sabe que, em uma superfície de nível, o vetor gradiente da função é ortogonal à superfície em cada ponto. Então, para calcular um vetor normal unitário à superfície no ponto (1, 1, 2), precisamos calcular o gradiente da função nesse ponto. Para isso, precisamos das derivadas parciais de Φ ( x ,   y ,   z )   . Calculando-as, obtemos

∂ Φ ( x ,   y ,   z ) ∂ x = y z ²   ⇒   ∂ Φ ( 1 ,   1 ,   2 ) ∂ x = 4

∂ Φ ( x ,   y ,   z ) ∂ y = x z ²   ⇒   ∂ Φ ( 1 ,   1 ,   2 ) ∂ y = 4

∂ Φ ( x ,   y ,   z ) ∂ z = 2 x y z   ⇒ ∂ Φ ( 1 ,   1 ,   2 ) ∂ z = 4

Então, a gente tem que o vetor gradiente no ponto (1, 1, 2), que é normal à superfície de nível, é dado pelas coordenadas (4, 4, 4). No entanto, este vetor, apesar de normal à superfície de nível, não é unitário. Então, a afirmativa é falsa.

Agora, vamos dar uma olhada nas sentenças restantes.

Passo 2

A terceira sentença nos afirma que o limite de uma curva e t - 1 t ,   1 + t - 1 t ,   1 t + 1 parametrizada por um parâmetro t é (1, 2, 1). Para isso, precisamos calcular o limite de cada uma das componentes. Para a primeira temos

l i m t → 0 e t - 1 t

Quando t tende a zero, obtemos uma indeterminação. Utilizando a regra de L’Hôspital para calcular o limite, derivamos o numerador e o denominador para então calculá-lo. Assim, temos

l i m t → 0 e t - 1 t = l i m t → 0 e t 1 = 1

Para a segunda componente, obtemos uma indeterminação novamente:

l i m t → 0 1 + t - 1 t

Novamente, utilizando a regra de L’Hôspital, obtemos:

l i m t → 0 1 + t - 1 t = l i m t → 0 1 2 1 + t = 1 2

Para a última componente, temos que o limite é

l i m t → 0 1 t + 1 = 1

Então, o limite quando t tende à zero é 1 ,   1 2 ,   1 . Portanto, a terceira afirmativa é falsa.

A quarta afirmativa nos pede para determinar o domínio da função r que leva um parâmetro real t à um ponto do espaço tridimensional através da expressão r ( t ) = t ² ,   t - 1 ,   16 - t ² . Como raiz de números negativos não possui valor real, temos que

t - 1 ≥ 0   ⇒   t ≥ 1

e

16 - t ² ≥ 0     ⇒   t ≤ 4

Temos que a última expressão, 16 - t², é positiva de -4 até 4. Mas da primeira condição, que t seja maior que 1, temos então que o intervalo para o qual a função r está definida é ]1,4[. Portanto, a afirmativa é verdadeira.

Resposta

(V)

(F)

(F)

(V)

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